背後的物理
質量 \(m\)、速度 \(\vec v\) 的質點，在相對於某一點的位置 \(\vec r\) 時，對該點的角動量是 \(\vec L = \vec r \times m\vec v\)。大小等於動量乘以力臂 \(r_\perp\)（該點到速度所在直線的垂直距離）：
\[ L = m v r_\perp = m v_\perp r = m r^{2}\omega \]
力矩改變角動量，就像力改變動量一樣。對該點的合力矩為零時，角動量守恆：
\[ \vec\tau = \vec r \times \vec F = \frac{\Delta \vec L}{\Delta t}, \qquad \vec\tau = 0 \;\Rightarrow\; \vec L = \text{constant} \]
一、穿過小孔的繩子
光滑桌面上，小球在水平方向只受繩子的張力，而張力永遠指向小孔（連心力），對小孔的力臂是零，力矩為零，所以不論手怎麼收放繩子，\(L = m v_\perp r\) 都不變。把繩子拉短，小球就必須轉得更快；繩長固定時，小球又做等速圓周運動：
\[ v r = \text{constant}\;\Rightarrow\; v \propto \frac{1}{r}, \qquad \omega = \frac{L}{m r^{2}} \propto \frac{1}{r^{2}}, \qquad T = \frac{m v^{2}}{r} = \frac{L^{2}}{m r^{3}} \]
半徑減半：速率變 2 倍、角速度變 4 倍、動能變 4 倍、張力變 8 倍。小球往內移時張力對它作正功，手作的功正好等於動能的增加：
\[ W = \Delta K = \frac{L^{2}}{2m}\left(\frac{1}{r_{1}^{2}} - \frac{1}{r_{0}^{2}}\right) \]
放繩時，小球對手作功，動能減少。如果手鬆開，張力消失，小球沿直線等速滑出——角動量還是一樣，因為直線的力臂 \(r_\perp\) 不變。從小孔到小球的連線，在相等的時間掃過相等的面積，這正是行星運動的克卜勒第二定律：
\[ \frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{1}{2} r v_\perp = \frac{L}{2m} = \text{constant} \]
二、旋轉平台
繞固定軸轉動的物體，把每一小塊質量的 \(m r^2\) 加起來就是轉動慣量 \(I\)，角動量 \(L = I\omega\)。這裡平台是均勻圓盤、人體近似均勻圓柱，每個啞鈴看成離轉軸 \(r\) 的質點：
\[ I = \tfrac12 M R_{b}^{2} + \tfrac12 M_{p} R_{p}^{2} + 2 m r^{2} \]
\(I\) 只由質量相對於轉軸的分布（啞鈴在哪裡）決定，與轉得多快無關。轉軸沒有摩擦、肌肉的力是內力，沒有外力矩，所以 \(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\)。收手讓 \(I\) 變小、\(\omega\) 變大；轉動動能增加，多出來的能量來自肌肉作的功：
\[ \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} = \frac{I_{1}}{I_{2}}, \qquad K = \tfrac12 I\omega^{2} = \frac{L^{2}}{2I}, \qquad W = \Delta K = \frac{L^{2}}{2}\left(\frac{1}{I_{2}} - \frac{1}{I_{1}}\right) \]
再把手伸出去則相反：\(\omega\) 變回原來的值，同樣多的能量回到肌肉。
三、兩盤相合
把上盤放到同軸旋轉的下盤上，兩盤之間的摩擦力讓一個變快、一個變慢，直到一起轉動。兩盤受到的摩擦力矩大小相等、方向相反（內力矩），總角動量守恆：
\[ I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2} = (I_{1} + I_{2})\,\omega_{f}, \qquad I = \tfrac12 M R^{2} \]
動能不守恆：滑動的過程把一部分動能變成熱，這是轉動版的「完全非彈性碰撞」。損失的動能與摩擦係數無關，摩擦大只是讓兩盤更快一起轉：
\[ \Delta K = \frac12\,\frac{I_{1}I_{2}}{I_{1}+I_{2}}\,(\omega_{1}-\omega_{2})^{2}, \qquad \frac{\Delta K}{K_{0}} = \frac{I_{2}}{I_{1}+I_{2}}\ \ (\omega_{2} = 0) \]
觀察重點
- 半徑減半，速率加倍：用預設值（\(r_0 = 1\ \mathrm{m}\)、\(v_0 = 1\ \mathrm{m/s}\)）把繩子拉到 \(r_1 = 0.5\ \mathrm{m}\)：速率變成 \(2\ \mathrm{m/s}\)，角速度與動能都變 4 倍，而 \(L\) 一直是 \(0.500\ \mathrm{kg\,m^2/s}\)。
- 手作的功：比較讀數的「手作的功 W」與動能的變化，兩者永遠相等；放繩時功是負的。
- 等面積：不論繩子固定、收繩或鬆手，陰影扇形的面積都一樣——這是連心力的特徵。
- 張力太大：張力和 \(1/r^3\) 成正比，拉得太近繩子會斷。
- 花式滑冰的旋轉：在旋轉平台上收手，長條圖顯示 \(I\) 變小、\(\omega\) 以同樣的倍數變大、\(L\) 不變、\(K\) 增加。
- 轉速倍率與轉速無關：改變 \(\omega_1\) 再收手一次，倍率 \(\omega_2/\omega_1 = I_1/I_2\) 不變，因為 \(I\) 與轉速無關。
- 相同的兩盤：兩盤完全相同、上盤原本靜止，最後轉速減半，動能剛好損失一半。
模擬方法
- 穿過小孔的繩子：繩子拉緊時，手決定 \(r(t)\)（等加速、等速 \(u\)、等減速）。切線方向的運動方程式 \(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0\) 與手作的功 \(W = \int T(-\dot r)\,dt\)（\(T = m(r\dot\theta^2 - \ddot r)\)）用四階 Runge–Kutta 法數值積分，步長不超過 0.5 ms。程式沒有把 \(L\) 當成已知：單元測試檢查 \(m r^2\dot\theta\) 的漂移小於十億分之一，並檢查 \(W = \Delta K\)。
- 放繩時加速度有上限，張力至少保持 \(mv^2/r\) 的一半（繩子只能拉、不能推）。手鬆開或張力超過 30 N 繩子斷掉後，小球做等速直線運動（解析解）。
- 旋轉平台：\(L\) 固定，\(\omega = L/I(r)\)。手臂沿平滑曲線移動（兩端速度為零），轉過的角度用 Simpson 法積分。兩手的姿勢左右對稱，手往前擺不會產生淨角動量。手臂的質量併入人體圓柱。
- 兩盤相合：接觸面的壓力均勻，動摩擦力矩 \(\tau = \tfrac23\mu M_2 g R_c\)（\(R_c\) 取較小的半徑，\(g = 9.80665\ \mathrm{m/s^2}\)），兩盤各自等角加速度，直到轉速相同（解析解）。
- 小球與啞鈴視為質點，畫面上的大小只是為了看得清楚；不計空氣阻力，小孔與轉軸都沒有摩擦。
- 3D 檢視使用 three.js 函式庫（MIT 授權，只有切換到 3D 時才會下載），以公尺為單位畫出同一個物理核心算出的狀態：桌面、小孔與下垂的繩子；人、手臂、啞鈴與沿轉軸的角動量向量；以及裝在同一根軸上的兩個圓盤。
參考資料