背後的物理
接上電池時，電池把電子從一片平板搬到另一片，直到兩板間的電壓等於電池電壓為止。兩板帶等量異號電荷 \(\pm Q\)，電量與電壓成正比，比例常數就是電容 \(C\)：
\[ Q = CV, \qquad C = \frac{\kappa\,\varepsilon_0 A}{d}, \qquad \varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N\,m^2)} \]
電荷均勻分布在兩板的內側表面，面密度 \(\sigma = Q/A\)。兩板很大時，板間是均勻電場，板外電場（幾乎）為零。兩板之間是空氣時：
\[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{V}{d} \]
介電質
介電質（紙、玻璃、雲母等絕緣體）在電場中會極化：分子沿電場排列，在兩個表面留下與相鄰平板異號的束縛電荷。束縛電荷抵消一部分自由電荷，所以同樣的自由電荷只產生 \(1/\kappa\) 的電場；換句話說，電壓固定時平板可以多存 \(\kappa\) 倍的電荷。介電常數 \(\kappa\) 在真空中為 1，空氣也幾乎等於 1。
\[ \sigma_{\text{b}} = (\kappa - 1)\,\varepsilon_0 E, \qquad \sigma_{\text{free}} - \sigma_{\text{b}} = \varepsilon_0 E \]
這裡的介電質板厚度恰好等於板距，從側面推入。蓋住面積的比例為 \(f\) 時，介電質部分與空氣部分的電壓都是 \(V\)、板距都是 \(d\)，是兩個電容器並聯，兩部分的電場都是 \(E = V/d\)：
\[ C = \frac{\varepsilon_0 (1-f)A}{d} + \frac{\kappa\,\varepsilon_0 f A}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d}\,\bigl[\,1 + f(\kappa - 1)\,\bigr] \]
對照：若厚度 \(t\) 的介電質板平放、蓋滿整個面積，空氣層與介電質層帶相同電量、電壓相加，是兩個電容器串聯：
\[ \frac{1}{C} = \frac{d - t}{\varepsilon_0 A} + \frac{t}{\kappa\,\varepsilon_0 A} \quad\Rightarrow\quad C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + t/\kappa} \]
能量與力
把電容器充電需要作功，這些功以電位能的形式儲存在兩板間的電場中。除以體積 \(Ad\) 得到能量密度：
\[ U = \tfrac12 CV^{2} = \tfrac12 QV = \frac{Q^{2}}{2C}, \qquad u = \tfrac12\,\kappa\,\varepsilon_0 E^{2} \]
兩板互相吸引。每片平板只受到另一片平板的電場 \(\sigma/2\varepsilon_0 = E/2\)，所以力是 \(QE\) 的一半，而且與 \(d\) 無關。\(Q\) 固定時，把兩板拉開 \(\Delta d\) 所作的功 \(F\,\Delta d\) 恰好等於能量的增加：
\[ F = \frac{Q^{2}}{2\varepsilon_0 A} = \tfrac12 QE, \qquad F\,\Delta d = \frac{Q^{2}}{2\varepsilon_0 A}\,\Delta d = \Delta\!\left(\frac{Q^{2}}{2C}\right) = \Delta U \]
接著電池時，能量帳不一樣：拉開兩板會把電量 \(|\Delta Q|\) 推回電池。電池作功 \(V\Delta Q\)（為負），電容器能量變化 \(\tfrac12 V\Delta Q\)，拉板的外力作功 \(-\tfrac12 V\Delta Q > 0\)。
V 固定還是 Q 固定？
先判斷哪個量不會變：電池一直接著，\(V\) 固定；斷開後電荷無處可去，\(Q\) 固定。再用 \(C = \kappa\varepsilon_0A/d\)、\(Q = CV\)、\(E = V/d\)、\(U = \tfrac12 CV^2\) 推論：
| 改變 | C | Q | V | E | U |
|---|
| 接上電池（V 固定） |
| d 加倍 | ×½ | ×½ | 不變 | ×½ | ×½ |
| A 加倍 | ×2 | ×2 | 不變 | 不變 | ×2 |
| 填入介電質 κ | ×κ | ×κ | 不變 | 不變 | ×κ |
| 充電後斷開（Q 固定） |
| d 加倍 | ×½ | 不變 | ×2 | 不變 | ×2 |
| A 加倍 | ×2 | 不變 | ×½ | ×½ | ×½ |
| 填入介電質 κ | ×κ | 不變 | ×1/κ | ×1/κ | ×1/κ |
觀察重點
- 接著電池把板距加倍：\(d\) 由 \(2\ \mathrm{mm}\) 改成 \(4\ \mathrm{mm}\)。\(C\)、\(Q\)、\(E\)、\(U\) 都減半（箭頭都顯示 ×0.50），電子流回電池；只有 \(V\) 不變。
- 斷開後再做一次：按「充電後斷開」，再把 \(d\) 由 \(2\) 改成 \(4\ \mathrm{mm}\)。電荷跑不掉，\(Q\) 與 \(E\) 不變（電場線疏密不變），\(V\) 與 \(U\) 加倍；多出來的能量來自拉開兩板所作的功。
- 接著電池推入玻璃：選玻璃，把介電質板拖進去。電子持續流動，玻璃那一側平板上的自由電荷變成 5 倍密，但電場線不變——多出來的電荷被玻璃表面的束縛電荷抵消，\(E = V/d\) 由電池決定。
- 斷開後推入玻璃：\(Q\) 固定，電壓、電場與能量都下降。能量減少，代表電場會把介電質板「吸」進去。
- 推入一半：介電質板推入一半時，\(C\) 恰好在「全是空氣」與「全部填滿」兩個值的正中間——兩部分是並聯。
- 吸引力與板距無關：兩板間是空氣、\(Q\) 固定時改變 \(d\)，吸引力 \(F = Q^2/(2\varepsilon_0A)\) 不變，所以能量與 \(d\) 成正比增加。
模擬方法
- 所有讀數直接由上面的理想平行板公式計算：板間為均勻電場、板外沒有電場（可選的「邊緣場」只是示意）。平板為正方形，邊長 \(\sqrt{A}\)。
- 接著電池時，條件改變後電量像 RC 電路一樣趨近新的 \(Q = CV\)：\(q(t) = Q + (q_0 - Q)\,e^{-t/\tau}\)，以慢動作顯示；讀數一律顯示最後的平衡值。
- 「前一狀態」是最近一次改變之前的狀態；連續拖曳同一個滑桿算作一次改變。
- 兩板吸引力只在兩板間是空氣時計算；有固體介電質時，力與介電質和平板的接觸方式有關，超出這個模型的範圍。
- 水的 κ 很大，所以列入比較；實際的自來水會稍微導電，電容器會經由水慢慢漏電。
3D 檢視怎麼畫
- 3D 檢視與 2D 使用同一個物理核心、同一組狀態（包括充放電的慢動作）。平板是邊長 \(\sqrt{A}\)、厚 4 mm 的正方形金屬板，依實際比例（公分）畫出；只有板距放大 10 倍，才看得清楚板間的電場。
- 電場線：每一條代表相同的電通量，所以每單位面積的條數與 \(E\) 成正比，間距與 \(1/\sqrt{E}\) 成正比（預設 5 kV/m 時間距 1.4 cm）。每一顆自由電荷小球代表相同的電量，所以平板上小球的間距與 \(1/\sqrt{\sigma}\) 成正比；在空氣部分，每一條電場線都由一顆 + 小球出發、終止於一顆 − 小球。太密畫不下時以最小間距畫出，並在畫面上註明。
- 推入介電質後，介電質部分與空氣部分的電壓相同、板距相同，電場都是 \(E = V/d\)，所以介電質裡的電場線並不會比旁邊的空氣部分稀疏。改變的是電荷：介電質那一側的自由電荷密 \(\kappa\) 倍，多出來的部分被介電質表面的束縛電荷 \(\sigma_{\text{b}} = (\kappa-1)\varepsilon_0E\)（空心圓環）抵消，所以每 \(\kappa\) 個自由電荷只有 1 個發出電場線。若 \(Q\) 固定，推入介電質會讓全部的電場線一起變稀疏，因為 \(E\) 變成原來的 \(1/[1+f(\kappa-1)]\)。
- 等位面每隔 \(\Delta V\) 畫一片（間隔寫在畫面角落）；均勻電場中等位面是平面，間距為 \(\Delta V/E\)。邊緣場是示意：形狀取自「兩片很寬的薄平板邊緣」的二維精確解（馬克士威保角映射 \(z = \frac{a}{\pi}(1 + w + e^{w})\)，\(2a\) 為畫面上的板距），沿每一條板邊排列；忽略平板厚度與四個角，也不計入讀數。
- 介電質中的極化分子與 2D 一樣是示意。3D 檢視使用 three.js 函式庫（MIT 授權），只有切換到 3D 時才會下載。
參考資料
- 課綱對應：選修物理Ⅳ・靜電學。
- 常數與數據：真空電容率 \(\varepsilon_0 = 8.854\,187\,8128\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)（CODATA 2018；CODATA 2022 為 \(8.854\,187\,8188\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)，NIST，相差不到十億分之一，讀數看不出差別）。介電常數取典型值：紙 3.5、玻璃 5、雲母 6、水 80，空氣當作 1；OpenStax《University Physics Volume 2》表 8.1 列出乾燥空氣 1.00059、紙 3.7、玻璃 4～6、雲母 6.0、水 80，實際數值依材料成分、溫度與頻率而不同。
- 延伸閱讀：OpenStax《University Physics Volume 2，8.1 電容器與電容》與〈8.5 介電質的分子模型〉；HyperPhysics：平行板電容器（皆為英文）。