平行板電容器

兩片金屬平板隔著小小的間隙相對。調整平板面積、板距與兩板之間的介電質，比較電容器「一直接著電池（V 固定）」與「充電後斷開（Q 固定）」時各個量的變化——這是考試的經典題型。每個讀數旁的箭頭顯示它與前一個狀態相比是變大還是變小。切換到 3D，可以從各個角度看平板上的電荷、電場線與等位面。

試試看：按「充電後斷開」，把板距 d 拉大一倍，看 V 和 E 怎麼變；再接上電池比比看。

自由電荷 ＋／－ 介電質表面的束縛電荷 電場線 導線中移動的電子 等位面（每隔相同的 ΔV）

3D 立體示意，與 2D 用同一個物理核心計算。平板大小與厚度依實際比例（公分），只有板距放大 10 倍。每一條電場線代表相同的電通量，所以每單位面積的電場線條數與 E 成正比；每一顆電荷小球代表相同的電量。拖曳可旋轉，雙指或滾輪可縮放。從上方看時上板會變成半透明，才看得到它內側表面的正電荷。

側視示意圖（未依比例）：板距方向放大許多倍。電荷符號越密代表電荷面密度 σ 越大，電場線越密代表 E 越大（間距與 σ、E 成反比）。可上下拖曳上板改變板距，左右拖曳介電質板。

背後的物理

接上電池時，電池把電子從一片平板搬到另一片，直到兩板間的電壓等於電池電壓為止。兩板帶等量異號電荷 \(\pm Q\)，電量與電壓成正比，比例常數就是電容 \(C\)：

\[ Q = CV, \qquad C = \frac{\kappa\,\varepsilon_0 A}{d}, \qquad \varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N\,m^2)} \]

電荷均勻分布在兩板的內側表面，面密度 \(\sigma = Q/A\)。兩板很大時，板間是均勻電場，板外電場（幾乎）為零。兩板之間是空氣時：

\[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{V}{d} \]

介電質

介電質（紙、玻璃、雲母等絕緣體）在電場中會極化：分子沿電場排列，在兩個表面留下與相鄰平板異號的束縛電荷。束縛電荷抵消一部分自由電荷，所以同樣的自由電荷只產生 \(1/\kappa\) 的電場；換句話說，電壓固定時平板可以多存 \(\kappa\) 倍的電荷。介電常數 \(\kappa\) 在真空中為 1，空氣也幾乎等於 1。

\[ \sigma_{\text{b}} = (\kappa - 1)\,\varepsilon_0 E, \qquad \sigma_{\text{free}} - \sigma_{\text{b}} = \varepsilon_0 E \]

這裡的介電質板厚度恰好等於板距，從側面推入。蓋住面積的比例為 \(f\) 時，介電質部分與空氣部分的電壓都是 \(V\)、板距都是 \(d\)，是兩個電容器並聯，兩部分的電場都是 \(E = V/d\)：

\[ C = \frac{\varepsilon_0 (1-f)A}{d} + \frac{\kappa\,\varepsilon_0 f A}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d}\,\bigl[\,1 + f(\kappa - 1)\,\bigr] \]

對照：若厚度 \(t\) 的介電質板平放、蓋滿整個面積，空氣層與介電質層帶相同電量、電壓相加，是兩個電容器串聯：

\[ \frac{1}{C} = \frac{d - t}{\varepsilon_0 A} + \frac{t}{\kappa\,\varepsilon_0 A} \quad\Rightarrow\quad C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + t/\kappa} \]

能量與力

把電容器充電需要作功，這些功以電位能的形式儲存在兩板間的電場中。除以體積 \(Ad\) 得到能量密度：

\[ U = \tfrac12 CV^{2} = \tfrac12 QV = \frac{Q^{2}}{2C}, \qquad u = \tfrac12\,\kappa\,\varepsilon_0 E^{2} \]

兩板互相吸引。每片平板只受到另一片平板的電場 \(\sigma/2\varepsilon_0 = E/2\)，所以力是 \(QE\) 的一半，而且與 \(d\) 無關。\(Q\) 固定時，把兩板拉開 \(\Delta d\) 所作的功 \(F\,\Delta d\) 恰好等於能量的增加：

\[ F = \frac{Q^{2}}{2\varepsilon_0 A} = \tfrac12 QE, \qquad F\,\Delta d = \frac{Q^{2}}{2\varepsilon_0 A}\,\Delta d = \Delta\!\left(\frac{Q^{2}}{2C}\right) = \Delta U \]

接著電池時，能量帳不一樣：拉開兩板會把電量 \(|\Delta Q|\) 推回電池。電池作功 \(V\Delta Q\)（為負），電容器能量變化 \(\tfrac12 V\Delta Q\)，拉板的外力作功 \(-\tfrac12 V\Delta Q > 0\)。

V 固定還是 Q 固定？

先判斷哪個量不會變：電池一直接著，\(V\) 固定；斷開後電荷無處可去，\(Q\) 固定。再用 \(C = \kappa\varepsilon_0A/d\)、\(Q = CV\)、\(E = V/d\)、\(U = \tfrac12 CV^2\) 推論：

改變CQVEU
接上電池（V 固定）
d 加倍×½×½不變×½×½
A 加倍×2×2不變不變×2
填入介電質 κ×κ×κ不變不變×κ
充電後斷開（Q 固定）
d 加倍×½不變×2不變×2
A 加倍×2不變×½×½×½
填入介電質 κ×κ不變×1/κ×1/κ×1/κ

觀察重點

模擬方法

3D 檢視怎麼畫

參考資料