背後的物理
等速圓周運動的物體以固定的速率繞半徑 \(r\) 的圓轉動，轉一圈的時間是週期 \(T\)。每秒掃過的角度稱為角速度 \(\omega\)：
\[ \theta = \omega t, \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \qquad v = \frac{2\pi r}{T} = r\omega \]
速率固定，但速度的方向一直在改變（永遠沿著切線），所以速度在變、一定有加速度。把位置寫成向量再對時間微分：
\[ \vec{r} = r(\cos\omega t,\ \sin\omega t), \qquad \vec{v} = r\omega(-\sin\omega t,\ \cos\omega t), \qquad \vec{a} = -\omega^{2} r(\cos\omega t,\ \sin\omega t) = -\omega^{2}\vec{r} \]
所以加速度永遠指向圓心（向心加速度），與速度垂直，大小固定：
\[ a = \frac{v^{2}}{r} = \omega^{2} r = \frac{4\pi^{2} r}{T^{2}} \]
由牛頓第二定律，合力也一定指向圓心。「向心力」不是一種新的力，而是讓物體維持圓周運動的合力的名稱。這裡小球在光滑水平桌面上，重力與正向力抵消，合力就是繩子的張力：
\[ F_{\text{net}} = m a = \frac{m v^{2}}{r} = m\omega^{2} r \]
力永遠和速度垂直，不作功，所以動能 \(\tfrac12 m v^2\) 保持不變。
投影是簡諧運動
小球在兩個座標軸上的「影子」沿直線來回運動，位置是時間的餘弦與正弦函數，振幅為 \(r\)、週期同為 \(T\)，各自滿足簡諧運動的方程式：
\[ x = r\cos\omega t, \qquad y = r\sin\omega t, \qquad a_x = -\omega^{2} x, \qquad a_y = -\omega^{2} y \]
剪斷繩子
繩子一剪斷，合力為零。由牛頓第一定律，小球保持剪斷瞬間的速度，沿切線以等速 \(v\) 做直線運動，不會沿半徑向外飛。剪斷瞬間位置與速度垂直，所以經過時間 \(\tau\) 後與圓心的距離為
\[ d = \sqrt{r^{2} + v^{2}\tau^{2}} \]
觀察重點
- 速率加倍，加速度變 4 倍：選「保持不變：速率 v」，設 \(r = 1\ \mathrm{m}\)、\(v = 2\ \mathrm{m/s}\)（\(a = 4\ \mathrm{m/s^2}\)），再改成 \(v = 4\ \mathrm{m/s}\)：加速度變成 \(16\ \mathrm{m/s^2}\)，藍色箭頭變 4 倍長，因為 \(a = v^2/r\)。
- 週期相同時 \(a \propto r\)：選「保持不變：週期 T」，\(T = 2\ \mathrm{s}\)，依序試 \(r = 0.5\)、\(1\)、\(2\ \mathrm{m}\)：速率與加速度每次都加倍，因為 \(v = 2\pi r/T\)、\(a = 4\pi^2 r/T^2\)。
- 速率相同時 \(a \propto 1/r\)：固定 \(v\)、把半徑減半，加速度加倍（汽車用同樣速率過更急的彎，需要更大的摩擦力）。
- 在不同角度剪斷繩子：小球永遠沿切線、順著紅色速度箭頭的方向飛出；等時距標記的間距保持相等——等速度運動，正是牛頓第一定律。
- 投影是簡諧運動：\(x\)–\(t\) 圖是餘弦、\(y\)–\(t\) 圖是正弦，振幅 \(r\)、週期 \(T\)，\(y\) 比 \(x\) 慢四分之一週期。剪斷繩子後，兩張圖都變成直線。
- 質量只影響力，不影響運動：改變 \(m\)，運動與加速度都不變，但需要的向心力 \(F = ma\) 與 \(m\) 成正比（打開「合力 F」比較）。
模擬方法
- 位置、速度與加速度全部直接由上面的公式計算（解析解），不論跑多久都沒有累積的數值誤差。
- 剪斷後的運動是 \(\vec{r}(t) = \vec{r}_{c} + \vec{v}_{c}\,(t - t_{c})\)，其中 \(\vec{r}_{c}\)、\(\vec{v}_{c}\) 是剪斷瞬間 \(t_{c}\) 的位置與速度。
- 動畫以真實時間播放（慢動作時為 0.25 倍）。播放中改變條件時，小球保持目前的角位置，時間從 t = 0 重新計算。
- 小球視為質點，畫面上的大小只是為了看得清楚；繩子質量不計，桌面無摩擦。
參考資料