實驗目的
- 找出載流螺線管內的磁場與它的電流有什麼關係。
- 找出磁場中的載流導線所受磁力與導線電流有什麼關係。
實驗器材
- 電流天平（含支架）：長條形絕緣板，上面鋪著ㄈ字形銅條，架在兩個金屬支點 K、K′ 上；支點同時是電流進出銅條的地方。前端（bc 段）伸進螺線管，外端有掛小重物的掛勾與歸零螺母。
- 空心螺線管（本模擬：長 25.0 cm、1000 匝、管內半徑 2.5 cm）。
- 直流電源供應器兩台（可調電流並有電流表；若是固定電壓的電源，每個電路要串接可變電阻與安培計），以及導線數條。
- 漆包線、剪刀、直尺，以及公用的電子秤（最小讀數 1 mg）。
原理
1. 磁場對載流導線的作用力
長 \(L\)、電流 \(I\) 的直導線，與均勻磁場 \(B\) 夾 \(\theta\) 角時，受力 \(F = ILB\sin\theta\)，方向同時垂直於導線與磁場。張開右手，拇指指向電流、四指指向 \(\vec B\)，掌心推出去的方向就是磁力的方向；寫成向量是 \(\vec F = I\vec L\times\vec B\)。
2. 為什麼只有 bc 段讓天平轉動
螺線管內的磁場沿著軸線。bc 段與軸垂直，\(\theta = 90^\circ\)，受力 \(F = I_1LB\)，方向鉛直向上或向下。兩支側臂與軸平行，也就是沿著 \(\vec B\)，\(\sin\theta = 0\)，不受力。電流從支點 K、K′ 進出，支點就在轉軸上，那裡就算有力也沒有力臂。所以只剩 bc 段的磁力產生力矩。
3. 力矩平衡
bc 段受力向下時，外端會上翹；在掛勾上掛質量 \(m\) 的漆包線，外端又被拉下來。對支點的兩個力矩相等時天平水平；兩臂等長（\(d_1 = d_2\)）時，就是兩個力相等：
\[ I_1LB\,d_1 = mg\,d_2 \] \[ \Longrightarrow\quad mg = I_1LB, \qquad B = \frac{mg}{I_1L} \]
4. 長螺線管的磁場
每公尺 \(n\) 匝的長螺線管，管內磁場均勻，\(B = \mu_0 n I_2\)。代入上式：
\[ mg = \mu_0 n L\, I_1 I_2 \qquad\Longrightarrow\qquad \mu_0 = \frac{mg}{nL\,I_1I_2} \]
實驗一固定 \(I_1\)：以 \(B = mg/(I_1L)\) 對 \(I_2\) 作圖，應該是通過原點的直線，斜率 \(\mu_0 n\)。實驗二固定 \(I_2\)（也就是 \(B\) 固定）：以 \(F = mg\) 對 \(I_1\) 作圖，應該是通過原點的直線，斜率 \(LB\)。重物不變時，\(I_1I_2\) 的乘積是定值。
步驟
- 把電流天平架在支架上，ㄈ字形的部分放進螺線管。不通電、掛勾上不放東西，轉動歸零螺母，讓指針對準水平刻線。
- 兩台電源都關閉、電流旋鈕轉到最小，再把一台接到螺線管、另一台經由支點接到天平的ㄈ字形電路。
- 打開電源。把天平電流 \(I_1\) 固定在 1.00 A～3.00 A 之間並記下來；螺線管電流 \(I_2\) 調到約 2 A。外端必須上翹（bc 被往下推）；如果外端下垂，就把其中一個電路的接線對調。
- 實驗一：剪一小段漆包線，稱出質量後掛在掛勾上。慢慢改變 \(I_2\)，直到天平水平且靜止；記錄 \(m\) 與 \(I_2\)，算出 \(B\)。換五種不同長度重做，畫出 \(B\) 對 \(I_2\) 的圖。
- 實驗二：把 \(I_2\) 固定在 3.00 A～5.00 A 之間。掛上漆包線後，慢慢改變 \(I_1\) 直到天平水平；記錄 \(m\) 與 \(I_1\)，算出 \(F = mg\)。換五種長度重做，畫出 \(F\) 對 \(I_1\) 的圖。
注意事項
- 重物一定要掛在標示的位置：mg = I1LB 必須是等臂才成立。
- 每次實驗前都要在不通電時歸零。沒有歸零的天平，每一次讀數都多了一個看不見的重量，作圖就不會通過原點。
- 通電後外端若下垂，只能把其中一個電流反向。兩個都反向等於沒改：bc 的受力方向取決於兩個電流方向的「乘積」。
- 電流要慢慢調，等天平不再擺動、停穩之後，才判斷是否水平。
- 大電流不要開太久，螺線管與銅條都會發熱。
- 磁鐵與鐵器要遠離；地磁約 0.05 mT，只有本實驗螺線管磁場的千分之幾。
問題與討論
- ㄈ字形電路的兩支側臂和 bc 載著同樣的電流，為什麼在螺線管內不受力？
參考答案
它們與磁場平行，\(\sin\theta = 0\)，所以 \(F = ILB\sin\theta = 0\)。
- 外端一直下垂、無法平衡。同學把兩個電流同時反向，有用嗎？
參考答案
沒有用。\(I_2\) 反向使 \(\vec B\) 反向，\(I_1\) 反向使 \(\vec L\) 反向，\(\vec F = I_1\vec L\times\vec B\) 變號兩次，結果不變。只能反一個。
- 某重物在 \(I_1 = 1.5\ \mathrm{A}\)、\(I_2 = 2.0\ \mathrm{A}\) 時平衡。改掛重 6 倍的重物，並把 \(I_1\) 調到 4.5 A，\(I_2\) 要調到多少？
參考答案
\(mg \propto I_1I_2\)：\(I_1I_2\) 要變成 6 倍，\(4.5 \times I_2 = 6 \times 1.5 \times 2.0\)，所以 \(I_2 = 4.0\ \mathrm{A}\)。
- 電流天平可以拿來秤重嗎？
參考答案
可以。知道 \(n\) 與 \(L\) 之後，由讓它水平的兩個電流就能算出 \(m = \mu_0 nL I_1I_2/g\)。從前的「安培」就是用這一類電流天平來定義與量測的。
- 怎樣用這套裝置量出螺線管內沿著軸線的磁場分布？
參考答案
保持等臂、\(I_2\) 不變，把螺線管沿軸每次移動 1 cm，讓 bc 位在不同深度，每次調到平衡並算出 \(B = mg/(I_1L)\)。管內深處的磁場幾乎不變，到了管口約剩一半。（bc 靠近管口時，側臂也會受到散開的磁場作用，簡單公式沒有算進去。）
- 打開「真實螺線管」後，為什麼求出的 \(\mu_0\) 小了約 9%？
參考答案
有兩個原因。螺線管不是無限長，中央的磁場比 \(\mu_0nI_2\) 小約 2.4%。更重要的是，管口的磁力線向外散開，側臂穿過這些向外的磁場，受力方向與 bc 相反；這些力集中在靠近支點的地方，抵消了約 7% 的力矩。所以同樣的電流只撐得起較輕的重物。
延伸：真實的螺線管
簡單模型假設管內磁場處處是 \(\mu_0nI_2\)、管外為零。真實的螺線管（長 \(\ell\)、繞線半徑 \(a\)）軸上的磁場是 \(B = \tfrac12\mu_0nI_2(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)\)，\(\alpha_1, \alpha_2\) 是從該點看兩端的角度。中央為 \(\mu_0nI_2\cdot\dfrac{\ell}{\sqrt{\ell^2 + 4a^2}}\)，管口約只剩一半。因為 \(\nabla\cdot\vec B = 0\)，沿軸變弱的磁場一定伴隨徑向分量 \(B_\rho \approx -\tfrac{\rho}{2}\,\partial B_z/\partial z\)，在管口向外。兩支側臂電流相反、所在處 \(B_\rho\) 的方向也相反，所以兩者受力同向，而且與 bc 的受力相反。
觀察重點
- 歸零之前，先看沒有電流、沒有重物時的指針：天平本來就是歪的。
- 通電後，對照「從管口往內看」的小圖用右手開掌定則判斷受力方向。分別把 \(I_1\)、\(I_2\)、兩者都反向試試。
- 掛上漆包線後慢慢改變電流：天平會擺動、擺過頭再停下來。每差 1 mg，指針約移動 0.6 mm。
- 實驗一：\(I_1\) 不變、漆包線加倍，\(I_2\) 也要加倍；實驗二的 \(I_1\) 也一樣。
- 故意不歸零做實驗一：點仍然排成直線，但直線不通過原點。
- 「含誤差」模式中支點有一點摩擦：天平可能在水平刻線前一點點就停住，同一個重物在一小段電流範圍內看起來都平衡。
模擬方法
- 常數：\(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\,m/A}\)（CODATA 2022 的值是 \(1.25663706127\times10^{-6}\)，相差不到 10 億分之 1）、\(g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}\)。儀器：\(n = 4000\) 匝/m、\(L = 3.00\ \mathrm{cm}\)、兩臂 \(d_1 = d_2 = 14.0\ \mathrm{cm}\)、漆包線每公分 40 mg。
- 天平繞支點轉動：\(J\ddot\theta = \tau - \kappa\sin\theta - c\dot\theta\)。\(\tau\) 是重物、歸零螺母與磁力的力矩總和；\(\kappa\sin\theta\) 是重心略低於支點產生的恢復力矩（\(\kappa = 4.0\times10^{-4}\ \mathrm{N\,m/rad}\)）。擺動週期約 3 s，幾秒內停下；擋塊把傾角限制在約 6° 內。指針離支點 17.0 cm，偏離水平刻線 ±0.5 mm 以內算水平。
- 「理想」：課本的模型——管內磁場均勻為 \(\mu_0nI_2\)、側臂不受力、電表準確、支點沒有摩擦。電流表讀到 0.01 A，電子秤讀到 1 mg。
- 「含誤差」：每個電流表有最多 ±0.6% 的校正誤差，電子秤最多 ±0.3%（每次開啟頁面都不同）；每剪一段新的漆包線，線密度與 40 mg/cm 相差最多 ±2%（電子秤量的是它真正的質量）；支點有靜摩擦，相當於掛勾上 0.6 mg，天平可能停在這個範圍內的任何位置。
- 「真實螺線管」：把繞線看成半徑 2.8 cm 的面電流。任一點的磁場是許多圓線圈的精確磁場（完全橢圓積分）沿長度用 Gauss–Legendre 法積分相加。磁力矩為 \(I_1\big[d_1\!\int B_z\,dx - 2\!\int B_\rho\,(z_P - z)\,dz\big]\)：第一項是 bc 段，第二項是兩支側臂（由 bc 到支點）。以本裝置的尺寸計算，是理想值的 0.908 倍。
- 傾角只有幾度，對磁力矩的影響可以忽略，所以磁力矩以板子水平時計算。支點在轉軸上，不產生力矩。
- 3D 檢視使用 three.js 函式庫（MIT 授權），只有切換到 3D 時才會下載。磁力線是沿同一套計算出的磁場（真實螺線管模型）在通過軸線的鉛直面與水平面上描出來的。
- 音效（預設關閉）：記錄時「喀」一聲，天平水平而且停穩時有輕柔的提示音，撞到擋塊時有碰撞聲。
參考資料