電子的荷質比

課本實驗搬回家做：電子經電壓 V 加速後射入亥姆霍茲線圈的均勻磁場，在低壓氦氣玻璃球中畫出發光的圓。移動左右游標量出直徑、記錄數據，再作圖求出電子的荷質比 e/m。切換到 3D 可以繞著真實的實驗裝置看。

試試看：按「快速開機」，再拖曳左右游標對準光圈的兩端，按「記錄」。

電子束（氦氣受撞擊發光） 游標的前、後細線 亥姆霍茲線圈 磁力線（計算結果）

正面圖，沿著線圈軸線看過去：磁場 B 由畫面指向你。左右拖曳游標（拖放大鏡可以微調）；放大鏡中可以看到細線與電子束邊緣是否對齊。

拖曳旋轉，滾輪或雙指縮放，右鍵或雙指拖曳平移。所有物件都依實際尺寸（公分）繪製；電子束與磁力線由與 2D 相同的物理計算而來。

數據表與分析

# V（V） I（A） B（10−4 T） x左（cm） x右（cm） D（cm） r（cm） e/m（1011 C/kg）
各次 e/m 的平均
—
最佳直線斜率（通過原點）
—
公認值
—

每一列：\(B = \dfrac{8\mu_0 N I}{\sqrt{125}\,R}\)，\(r = D/2\)，\(\dfrac{e}{m} = \dfrac{2V}{B^2 r^2}\)。右圖以 \(2V\) 對 \((Br)^2\) 作圖，斜率就是 \(e/m\)。

實驗目的

利用亥姆霍茲線圈產生近似均勻的磁場，讓電子束彎成圓形；量出圓的大小，配合加速電壓與磁場求出電子的荷質比 e/m，再與公認值比較。

實驗器材

原理

1. 電子被加速

電子幾乎由靜止出發，經過電位差 \(V\) 加速，電力所做的功 \(eV\) 全部變成動能：

\[ eV = \tfrac12 m v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \]

2. 磁力讓它轉成圓

在線圈中，速度與 \(\vec B\) 垂直。磁力 \(evB\) 永遠垂直於速度，只改變運動方向，正好當作向心力：

\[ evB = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{mv}{eB} \]

3. 消去速率 v

把 \(mv = eBr\) 平方得 \(m^2v^2 = e^2B^2r^2\)，再用第 1 步的 \(mv^2 = 2eV\)：

\[ \frac{e}{m} = \frac{2V}{B^2 r^2} \qquad\text{equivalently}\qquad 2V = \frac{e}{m}\,(Br)^2 \]

所以 \(2V\) 對 \((Br)^2\) 作圖是一條通過原點的直線，斜率就是 \(e/m\)。也可以看出 \(r \propto \sqrt V/B\)：電流加倍，圓縮成一半；電壓要變成 4 倍，圓才會變成 2 倍大。

4. 亥姆霍茲線圈的磁場

單一圓形線圈（\(N\) 匝）的軸上、距圓心 \(a\) 處，磁場為 \(B_1 = \dfrac{\mu_0 N I R^2}{2(a^2 + R^2)^{3/2}}\)。亥姆霍茲線圈的中點距兩個線圈都是 \(a = R/2\)，兩個磁場同方向相加：

\[ B = 2\cdot\frac{\mu_0 N I R^2}{2\left[(R/2)^2 + R^2\right]^{3/2}} = \frac{8\mu_0 N I}{\sqrt{125}\,R} \approx 0.7155\,\frac{\mu_0 N I}{R} \]

代入 \(N = 130\)、\(R = 0.150\ \mathrm{m}\)、\(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\,m/A}\)：每 1 A 的電流產生 \(B \approx 7.79\times10^{-4}\ \mathrm{T}\)。為什麼間距要等於半徑？兩線圈相距恰好 \(R\) 時，讓磁場隨位置改變的項一直抵消到二階，中心附近的磁場非常均勻：在電子束的平面上，離軸 4 cm 只弱 0.23%，離軸 6 cm 約弱 1.3%。

5. 為什麼看得到電子束

玻璃球內有極稀薄的氦氣。少數高速電子撞到氦原子，使原子激發，原子回到低能量時放出光，標出了電子走過的路徑。氣體非常稀薄，絕大多數電子的能量不受影響，路徑與在真空中相同。加速電壓低於約 25 V 時，電子能量不足以激發氦原子，看不到光。

步驟

  1. 讓教室變暗。先把加速電壓與線圈電流的旋鈕轉到最小，再打開電源，等幾秒讓陰極加熱。
  2. 調高加速電壓，出現直線的電子束後，再調高線圈電流，直到電子束彎成完整、清楚的圓。
  3. 把電壓表調到 100 V，讀出電流表的 I，由 N、R、I 算出中心磁場 B。
  4. 移動左、右游標，使細線恰好對準電子束最左與最右處的中央；讀每一邊時眼睛都要正對該游標。兩個讀數相減就是直徑 D，r = D/2。記錄 V、I、D。
  5. 改成 150 V、200 V、250 V 重做（每次調電流讓圓大小適中），算出每一次的 e/m，並由 2V 對 (Br)² 的斜率求出 e/m。

注意事項

問題與討論

  1. 要求出 \(e/m\)，必須測量哪些量？哪些是儀器的常數？
    參考答案

    測量 \(V\)、\(I\)（用來算 \(B\)）與直徑 \(D\)；\(N\)、\(R\) 是線圈的常數。

  2. \(V\) 不變、線圈電流加倍，半徑變成幾倍？在模擬中驗證。
    參考答案

    \(B\) 加倍，\(r = mv/(eB)\) 變成一半。

  3. 把 \(V\) 加倍，要讓圓的大小不變，電流要變成幾倍？
    參考答案

    \(r \propto \sqrt V/I\)，所以 \(I\) 要乘以 \(\sqrt2 \approx 1.41\)。

  4. 如果在玻璃球正中央的前方讀兩個游標，算出的 \(e/m\) 會偏大還是偏小？
    參考答案

    電子束在標尺後方，看起來比較小：\(D\) 偏小，而 \(e/m \propto 1/r^2\)，所以結果偏大（本裝置約大 60%）。

  5. 圓大到快碰到玻璃時，為什麼算出的 \(e/m\) 偏小？
    參考答案

    離軸遠的地方，實際磁場比計算時用的中心磁場 \(B\) 弱，圓比 \(mv/(eB)\) 大。

  6. 為什麼玻璃球中的氣體壓力要非常低？
    參考答案

    讓大多數電子能繞完整圈而不碰撞；只需要少數的碰撞就足以讓路徑發光。

延伸：螺旋運動

把電子槍轉一個角度 \(\alpha\)，離開圓的平面。速度就有沿 \(\vec B\) 的分量 \(v\sin\alpha\)（磁力無法改變它）與垂直分量 \(v\cos\alpha\)（繼續繞圈），電子束變成螺旋線：

\[ r = \frac{m v\cos\alpha}{eB}, \qquad T = \frac{2\pi m}{eB}, \qquad p = v\sin\alpha\cdot T = 2\pi\,\frac{mv}{eB}\,\sin\alpha \]

在「含誤差」模式中，真實線圈的磁場越靠近導線越強，角度小的螺旋可能被推回來——這就是小型的「磁鏡」。在 3D 中觀察。

觀察重點

模擬方法

參考資料