地震波與震央定位

看 P 波、S 波與表面波在地殼中傳開，地面怎麼振動；在臺灣三個測站的地震紀錄上量 S−P 時間差、畫圓，自己定出震央；再追蹤射線穿過地球的分層，找出證明外核是液體的「陰影區」。

試試看：按「發生地震」，看地震儀紀錄上 P 波、S 波、表面波誰先到、誰晃得最大。

P 波（縱波） S 波（橫波） 表面波（雷利波） 震源到測站的射線

均勻地殼的剖面，依比例（km）繪製。上下拖曳震源 ✶、沿地表拖曳地震儀。小點是岩石的質點，位移已大幅放大（示意）。到達時間是精確計算；振幅只表示趨勢（體波 ∝ 1/R、表面波衰減較慢，震源越深越弱）。動畫為實際時間的 4 倍速。

背後的物理

P 波、S 波與表面波

地震在震源突然釋放能量；震源正上方的地表位置叫震央。在地球內部傳播的「體波」有兩種：P 波（初達波、縱波）讓岩石壓縮與伸張，質點沿傳播方向前後振動；S 波（次達波、橫波）讓岩石剪切變形，質點垂直於傳播方向振動。它們的速度由體積模數 \(K\)、剪切模數 \(\mu\) 與密度 \(\rho\) 決定：

\[ V_P = \sqrt{\frac{K + \tfrac{4}{3}\mu}{\rho}}, \qquad V_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} \]

所以 \(V_P\) 一定比 \(V_S\) 大，P 波永遠先到。液體不能抵抗剪切（\(\mu = 0\)），所以 \(V_S = 0\)：S 波無法在液體中傳播，P 波卻可以。一般岩石的帕松比約 0.25，此時 \(V_P/V_S = \sqrt{3} \approx 1.73\)；地殼中 \(V_P \approx 6\ \mathrm{km/s}\)、\(V_S \approx 3.5\ \mathrm{km/s}\)。

沿地表傳播的是表面波。這裡畫的雷利波讓地表的質點沿「向後滾」（逆行）的橢圓運動；在均勻地殼中，\(V_P/V_S = \sqrt{3}\) 時它的速度恰好是 \(V_R = 0.9194\,V_S\)。表面波最晚到，但能量集中在地表附近、擴散得比體波慢，所以離震央較遠處通常振幅最大，破壞也常最嚴重。

由 S−P 時間差求距離

震源距離為 \(R\) 的測站，在地震發生後 \(t_P = R/V_P\) 收到 P 波、\(t_S = R/V_S\) 收到 S 波。我們不知道地震何時發生，但兩者的時間差是：

\[ \Delta t = t_S - t_P = R\left(\frac{1}{V_S} - \frac{1}{V_P}\right) \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{V_P V_S}{V_P - V_S}\,\Delta t = k\,\Delta t \]

\(V_P = 6.0\)、\(V_S = 3.5\ \mathrm{km/s}\) 時 \(k = 8.4\ \mathrm{km/s}\)；\(V_P/V_S = \sqrt{3}\) 時約 \(8.2\ \mathrm{km/s}\)，這就是「S−P 每差 1 秒，距離約 8 km」的經驗法則。兩種波的走時都與 \(R\) 成正比，所以 S−P 時間差隨距離穩定增加。震源深度為 \(h\) 時，震央距離 \(\Delta = \sqrt{R^2 - h^2}\)。

三站定位震央

每個測站只知道震源「多遠」，不知道「在哪個方向」，所以震源在以測站 \(i\) 為球心、半徑 \(R_i\) 的球面上：

\[ (x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + h^2 = R_i^2 \]

兩個測站的圓交於兩點，還無法決定；第三個測站才能確定。把兩站的方程式相減，\(x^2\)、\(y^2\)、\(h^2\) 都消去了，剩下一條直線，就是兩圓的共同弦：

\[ 2(x_j - x_i)\,x + 2(y_j - y_i)\,y = R_i^2 - R_j^2 + (x_j^2 + y_j^2) - (x_i^2 + y_i^2) \]

震源較深時三個圓會重疊而不交於一點，但三條共同弦仍恰好交於震央，再由 \(h = \sqrt{R^2 - \Delta^2}\) 求深度。實際的讀數有誤差，三個圓會圍出一個小小的「誤差三角形」。模擬用最小平方法找最佳的點：先由共同弦的方程式解出 \((x, y)\)、估計 \(h\)，再修正 \((x, y, h)\) 使 \(\sum_i \big(\sqrt{\Delta_i^2 + h^2} - R_i\big)^2\) 最小。測站越多，誤差越能互相抵消。

地球內部與陰影區

地球內部的波速隨深度改變，射線因此彎曲。在球對稱分層的地球中，司乃耳定律寫成

\[ \frac{\sin i_1}{v_1} = \frac{\sin i_2}{v_2} \ \ \text{（每個界面）}, \qquad p = \frac{r \sin i}{v} = \text{定值（整條射線）} \]

其中 \(i\) 由半徑方向量起。外核（深 2891–5150 km）是液體，S 波進不去，所以離地震約 103° 以外收不到直接的 S 波，稱為 S 波陰影區。P 波進得去，但波速從約 13.7 km/s 突然降到 8.1 km/s，強烈偏向法線，所以約 103°–143° 之間幾乎收不到 P 波，稱為 P 波陰影區。古騰堡（Beno Gutenberg）在 1913 年定出地核的邊界約在 2900 km 深；1936 年雷曼（Inge Lehmann）用陰影區裡微弱的 P 波，推論出固態的內核。

觀察重點

模擬方法

參考資料