背後的物理
每一個點電荷產生的電場與電位，依疊加原理相加：
\[ \vec{E}(\vec{r}) = \sum_i \frac{k\,q_i\,(\vec{r}-\vec{r}_i)}{\left|\vec{r}-\vec{r}_i\right|^{3}} \]
\[ V(\vec{r}) = \sum_i \frac{k\,q_i}{\left|\vec{r}-\vec{r}_i\right|} \qquad \vec{E} = -\nabla V \]
\[ k \approx 8.99\times 10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} \]
觀察重點
- 電力線條數與電量成正比（高斯定律）：把 A 改成 \(+4\ \mathrm{nC}\)、B 改成 \(-2\ \mathrm{nC}\)，數數看終止在 B 的線少了多少，多出來的線跑到哪裡去？
- 電力線處處垂直於等位線，且沿電力線方向電位下降。
- 等量同號電荷的中點電場為零，但電位不為零；電偶極的中垂線上電位為零，但電場不為零。
- 釋放試探電荷時，動能 + 電位能保持定值，即 \(K + qV = \text{定值}\)（力學能守恆）。注意：試探電荷不會沿著電力線走，因為它有慣性。
3D 檢視：空間中的等位面與電力線
真實的電荷在三維空間中。按「3D 立體」，2D 畫面就變成穿過電荷的 z = 0 平面（\(z\) 軸垂直於紙面）。空間中任一點的電位是
\[ V(x, y, z) = \sum_i \frac{k\,q_i}{\sqrt{(x-x_i)^{2} + (y-y_i)^{2} + z^{2}}} \]
- 等位「線」其實是等位「面」。2D 畫面上的每一條虛線，都是一個包住電荷的封閉曲面被 z = 0 平面切開的截面。按「剖半看內部」拿掉平面上方的一半，等位面的切口正好落在 2D 的等位線上。
- 電力線從正電荷向空間中的四面八方發出，並且處處垂直穿過等位面，因為 \(\vec E = -\nabla V\)。
- 在 3D 中，穿過（與電力線垂直的）單位面積的電力線條數正比於 \(E\)，這就是高斯定律；平面的 2D 圖只畫出一個平面上的線，只能大致呈現這件事。
- 兩個電荷時，整張圖對 A、B 連線呈軸對稱：3D 的等位面就是 2D 的等位線繞這條軸旋轉一圈。電偶極的 \(V = 0\) 等位面是 AB 的中垂面；不等量異號電荷時，它變成包住電量較小那個電荷的球面。等量同號電荷的等位面隨電位降低，從兩個分開的泡泡合成一個「花生」形。
- 試探電荷一直留在 z = 0 平面上：由對稱性，那裡的電場沒有 \(z\) 分量。
模擬方法
- 電力線：從電荷出發，以四階 Runge–Kutta 法沿電場方向逐步描線，每條線的出發角度平均分配。
- 等位線：在格點上計算電位，再用 marching squares 演算法找出等值線；電位等級取 \(\pm 100,\ \pm 200,\ \pm 400,\ \ldots\ \mathrm{V}\)。
- 試探電荷運動：自適應步長的 velocity-Verlet 積分，靠近電荷時自動縮小時間步長以維持能量守恆。
- 試探電荷只用來量測，不會反過來推動場源電荷（場源電荷固定不動）。
- 3D 檢視：每個電荷在距離 \(r\) 處的電位與電場，用與 2D 相同的物理程式計算，再在三維空間中疊加。在 3D 格點上計算電位（間距 0.125 cm，拖曳滑桿時暫用 0.25 cm），以「surface nets」方法（marching cubes 的同類方法）找出與 2D 等位線相同等級（\(\pm 100,\ \pm 200,\ \pm 400,\ \ldots\ \mathrm{V}\)）的等位面，每個頂點再用牛頓法移到精確的曲面上，光影的法向量就是 \(\vec E\) 的方向。電力線從電荷周圍小球面上平均分布的起點出發（Fibonacci 螺旋，每 nC 8 條），以 Runge–Kutta 法描線。畫面對 z = 0 鏡面對稱，平面下方的一半以鏡像畫出。3D 區域為 12 cm × 8 cm × 8 cm，等位面在邊緣附近淡出；電荷小球的大小只是示意。
- 3D 檢視使用 three.js 函式庫（MIT 授權），只有切換到 3D 時才會下載。