電梯中的視重(超重與失重)

站在電梯裡的體重計上搭電梯:電梯加速、等速、減速時,體重計的讀數怎麼變?對照同步的 a–t、v–t、y–t 與讀數–t 圖,看出讀數由「加速度」決定,而不是由速度決定。最後剪斷纜繩體驗完全失重,再用緊急煞車讓電梯停下來。

試試看:按樓層「10」,看體重計在加速、等速、減速時各讀多少?

操作方式:

超重(視重 > 實重) 失重(視重 < 實重) 完全失重(視重 = 0) 預定的運動(還沒發生) 之前幾趟(淡色)

向上為正。大樓與車廂內的高度都依比例畫(大樓的寬度不依比例)。受力圖的力箭頭使用同一個固定比例(畫在圖上);太長畫不下的箭頭會截短並標「≈」。每一趟的圖表從電梯出發時 t = 0 開始。

背後的物理

實重與視重

不論電梯怎麼動,地球對你的吸引力都是重量 \(W = mg\)(實重)。體重計量的不是這個力,而是你壓在它上面的力,大小等於它把你往上推的正向力 \(N\),這個讀數稱為視重。取向上為正,設電梯(和你)的加速度為 \(a\)。你只受兩個力,由牛頓第二定律:

\[ N - mg = ma \;\Rightarrow\; N = m(g + a) \]

體重計的刻度是公斤重(kgw):1 公斤重是 1 kg 物體的重量,\(1\ \mathrm{kgw} = 9.8\ \mathrm{N}\)。所以體重計受到 \(N\) 的壓力時,顯示

\[ \text{讀數(kgw)} = \frac{N}{9.8\ \mathrm{N/kgw}} = m\left(1 + \frac{a}{g}\right) \]

靜止或等速(\(a = 0\))時,讀數就是你的質量的公斤重數,例如 60 kg 的人顯示 60 kgw。若 \(a = +1.96\ \mathrm{m/s^2} = 0.2g\),同一個人顯示 \(60 \times 1.2 = 72\ \mathrm{kgw}\)。

電梯的運動 a 的方向 讀數
加速上升;減速下降向上(a > 0)\(N \gt mg\):超重
減速上升;加速下降向下(a < 0)\(N \lt mg\):失重
靜止,或等速上升、等速下降a = 0\(N = mg\):正常
自由落體(纜繩斷裂)——即使還在往上運動a = −g\(N = 0\):完全失重

讀數只由加速度決定,與電梯往上或往下、速度多快都無關:以 6 m/s 等速上升時的讀數,和靜止時完全一樣。

哪一對才是作用力與反作用力?

體重計以 \(N\) 把你往上推;由牛頓第三定律,你以同樣大小的力 \(N'\) 往下壓體重計。\(N\) 與 \(N'\) 是一對作用力與反作用力:大小相等、方向相反、作用在不同物體上,而且永遠如此,電梯加速時也一樣。反觀 \(mg\) 與 \(N\) 都作用在你身上,它們不是一對,只有在 \(a = 0\) 時才相等。(重量的反作用力是你對地球的引力。)

\[ \begin{gathered} \vec{N}_{\text{秤對人}} = -\vec{N}'_{\text{人對秤}} \ \ \text{(永遠成立)} \\ N - mg = ma \ \ \text{(}a \ne 0 \text{ 時 } N \ne mg\text{)} \end{gathered} \]

一趟典型的行程

按下樓層按鈕後,電梯以「梯形」的 v–t 圖運動:以 \(A\) 加速到最高速率 \(V\),等速前進,再以 \(A\) 減速,剛好停在樓層。行程距離為 \(d\) 時:

\[ \begin{gathered} t_{\text{加速}} = t_{\text{減速}} = \frac{V}{A} \\ t_{\text{總}} = \frac{d}{V} + \frac{V}{A} \quad \left(d \ge \frac{V^{2}}{A}\right) \end{gathered} \]

如果行程太短、來不及加速到 \(V\)(\(d \lt V^2/A\)),v–t 圖是三角形,最高速率 \(\sqrt{Ad}\)、總時間 \(2\sqrt{d/A}\)。無論哪一種,a–t 圖下的面積都是速度的變化(整趟為零),v–t 圖下的面積就是位移。

纜繩斷裂與緊急煞車

纜繩斷了以後,電梯只受重力,做 \(a = -g\) 的自由落體:車廂裡的東西一起落下,體重計讀數為 \(0\)、彈簧秤讀數也是 \(0\),完全失重。下降速率達到 \(v_{\text{trip}}\)(或你按下緊急煞車)時,安全鉗夾住導軌,以 \(a_b\) 減速(這時 \(a = +a_b\),向上),讀數跳到 \(m(1 + a_b/g)\)。從靜止開始,總共下降

\[ \Delta y = \frac{v_{\text{trip}}^{2}}{2g} + \frac{v_{\text{trip}}^{2}}{2a_b} \]

彈簧秤與落下的小球

吊在彈簧下的物體 \(m_s\) 也一樣:彈簧拉它的力 \(T = m_s(g + a)\),彈簧伸長 \(x = T/k\)。在電梯裡,一切就像重力加速度變成了 \(g_{\text{eff}} = g + a\)。所以從高度 \(h\) 放開的小球,落到地板需要

\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g + a}} \]

自由落體時 \(g + a = 0\):小球浮在你面前,直到開始煞車才落下。

觀察重點

模擬方法

參考資料