實驗說明
實驗目的
- 利用導電紙上的穩定電流，找出電位相等的點，描出等位線。
- 由等位線畫出電力線，觀察電場的分布與電極形狀的關係。
- 由等位線的間距估算電場的大小 \(E \approx \Delta V/\Delta d\)。
實驗器材
碳質導電紙（印有銀電極：兩個圓點、兩條平行長條……）、直流電源供應器、三用電表（或檢流計、微安培計）、金屬探針 2 支、導線、方格紙。有些學校改用「電場形成盤」：壓克力盤裝淡食鹽水，放入金屬電極，盤下墊方格紙，原理完全相同。
原理
等位線與電力線。沿著等位線移動電荷不必作功，所以電場沒有沿著等位線的分量：電力線與等位線處處垂直，並由高電位指向低電位。等位線愈密，電場愈強：
\[ \vec E = -\nabla V \] \[ E \approx \frac{\Delta V}{\Delta d} \]
為什麼通電的導電紙能顯示電場？導電紙是一張又薄又均勻的電阻。穩定電流 \(\vec J = \sigma \vec E\)（歐姆定律，\(\sigma\) 為導電度）不能在任何地方堆積電荷，所以 \(\nabla\cdot\vec J = 0\)；\(\sigma\) 均勻時就得到拉普拉斯方程式——和真空中靜電位所滿足的方程式一模一樣：
\[ \nabla\cdot\vec J = 0,\quad \vec J = \sigma\vec E = -\sigma\nabla V \] \[ \Longrightarrow\quad \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}} = 0 \]
金屬電極的電阻可以忽略，各自是一個等位體（\(V_0\) 與 \(0\)）。方程式相同、電極電位相同，圖形就相同：紙上的電流線就是電力線，等位線就是二維靜電問題的等位線——相當於兩根很長的平行帶電圓柱（或平板）的截面。兩個小圓形電極離紙邊很遠時，電位就是兩條線電荷的電位：
\[ V = \frac{V_0}{2} + \frac{V_0}{2\ln K}\,\ln\frac{r_-}{r_+} \]
其中 \(r_+\)、\(r_-\) 是到電極內兩個點（略偏離圓心）的距離，\(K\) 由電極大小決定。兩條平行長條從紙的一邊接到另一邊時，兩板之間的電位隨距離線性下降，電場均勻：\(E = V_0/d\)。圖形和兩個異號點電荷的電場很像，但它是二維（對數）的版本，細節不同：例如遠處的電位，二維電偶極以 \(1/r\) 遞減，而不是 \(1/r^{2}\)。
紙的邊緣。電流不能從紙邊流出去，所以紙邊上的電場與邊平行（\(\partial V/\partial n = 0\)）：等位線與紙邊垂直相交，原本會向外鼓出去的電力線被擠成沿著紙邊走。所以靠近紙邊的圖形和空間中的電場不同；在大張紙的中央，差別很小。
零位法。兩探針之間的檢流計讀數為零，正好表示兩探針等電位；平衡時沒有電流流過電表，所以量測不會干擾紙上的電流。靈敏的伏特計（數位三用電表幾乎不取用電流）也可以這樣使用。
實驗步驟
- 把電極接到直流電源（左邊電極接正極），接通電源。
- 兩支探針接到電表。黑探針 N1 固定按在紙上某一點（或夾在負極上）。
- 移動紅探針 N2，直到電表讀數為零（或選定的電壓，例如 1.00 V、2.00 V……），在方格紙上記下位置。
- 在紙上不同地方找出至少 5 個這樣的點，就是一條等位線。再移動 N1（或換目標電壓），重複做下一條。
- 把同一條線的點連成平滑曲線。
- 畫電力線：從正極出發，與每一條等位線垂直相交，終止於負極；箭頭由高電位指向低電位。
- 在兩條等位線之間選一點，量出兩線的距離 \(\Delta d\)，算出 \(E \approx \Delta V/\Delta d\)。
注意事項
- 探針要垂直、輕輕接觸紙面。用力壓或拖著刮，會刮傷薄薄的碳層，改變它的電阻。
- 紙要平、電極的接點要夾緊；接觸不良時電極的電位就不確定。
- 每找到一點就立刻對照紙上的方格，記到方格紙的相同位置。
- 同一條線的點要分散開來，也要包括靠近紙邊的地方，曲線才畫得準。
- 使用電場形成盤時：食鹽只放少許（濃食鹽水會被電解產生氯氣），水深不要超過電極，盤子要水平。
- 做完實驗要關掉電源。
問題與討論
- 為什麼即使檢流計沒有校準，讀數為零仍然可靠地表示兩點等電位？為什麼可以改用靈敏的伏特計？
- 為什麼你的等位線碰到紙邊時都與紙邊垂直？換成大很多的紙，等位線還會一樣嗎？
- 從你畫的圖如何看出哪裡電場最強？用 E = ΔV/Δd 在兩個地方估算來驗證。
- 為什麼電力線一定與電極表面垂直？
- 比較兩圓形電極的圖形與兩個異號點電荷的電場：哪裡相同？哪裡不同？
- 平行長條從紙的一邊接到另一邊時，為什麼電位恰好隨 x 線性變化？長條比紙短時有什麼改變？
- 如果碳層有些地方比較厚，等位線會移動嗎？（試試「含誤差」，紙的導電度會有一點不均勻。）
觀察重點
- 正中間的線：兩個相同的圓形電極，把 N1 夾到負極、找 \(V_0/2\) 的點：它們都在兩電極連線的中垂線上——對稱性。
- 電極旁最擁擠：每隔 1 V 的等位線在小電極旁很密，中間很疏。把電極半徑調小，擠得更厲害。
- 均勻電場：從紙邊接到紙邊的平行長條，等位線是等間距的直線，兩板之間處處 E = V0/d。把長條縮短，看等位線在兩端向外鼓出。
- 長條的背後：從邊到邊的長條背後沒有電流，那一整塊都和長條同電位。
- 角落：電流幾乎到不了紙的角落，那裡的電場非常弱。
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聽聲音找零點：打開音效、選檢流計，指針離零愈遠嗡嗡聲愈大，聲音消失就是等電位——用耳朵找零點。
3D 檢視：電位地形
在 3D 中，曲面在紙上每一點的高度就是該點的電位 \(V(x, y)\)。正極把曲面撐起一塊高度 \(V_0\) 的平台，負極把曲面釘在 \(0\)。等位線就是這片地形的等高線；電場 \(\vec E = -\nabla V\) 指向最陡的下坡方向，所以電流線沿著山坡往下流，與每一條等高線垂直；坡愈陡，電場愈強。在不導電的紙邊，曲面垂直於紙邊的方向是平的（沒有坡度）。
模擬方法
- 導電紙（30 cm × 20 cm）鋪上間距 0.125 cm 的方格網，以有限體積法寫出拉普拉斯方程式 \(\nabla\cdot(\sigma\nabla V) = 0\)：電極是固定電位，紙邊沒有電流流出。圓形電極切過格線的地方，用到圓周的實際距離（Gibou 等人的對稱二階方法）。方程式用「以多重網格 V 循環為前置條件的共軛梯度法」求解，每一種電極設定解一次；單元測試把結果與「邊到邊平行長條的線性電位」以及「兩條線電荷與其鏡像」的解析解比較。
- 格點之間的電位與電場用內插求得。方程式是線性的，所以只解 1 V 的情形，再乘以電源電壓。
- 導電紙的面電阻 Rs = 5 kΩ/□（一般碳質紙的數量級）；電源電流是流過紙中線的總電流。三用電表讀到 0.01 V，不取用電流。檢流計滿刻度 ±50 μA，迴路總電阻 50 kΩ（電表加探針接觸電阻）；接近零時取用的微小電流忽略不計。
- 「含誤差」：導電紙的導電度有約 ±4 % 的平滑起伏（每次開啟換一張隨機的紙）、電表有小小的零點偏差（最多 ±0.015 V）且最後一位會跳動（標準差 0.008 V；檢流計 0.15 μA），每一點描到方格紙上時有約 0.05 cm 的隨機誤差。「計算值」永遠是目前這張紙的真實值。
- 由數據畫電力線：只用量到的資料——電極（V0 與 0）與每一條量測線上的點當作已知電位，中間的電位用「最平滑」的方式補起來（在粗網格上解拉普拉斯方程式，紙邊不導電）。量測線就是這個補好的電位的等高線，沿下坡方向畫出的線自然與每一條量測線垂直。起點放在電位最接近電源一半的量測線上，間隔讓相鄰兩線之間流過的電流相等（電場愈強，線愈密），再往兩邊畫到電極。計算的電流線也用同樣的方式分配。
- 3D 地形使用同一個數值解（每隔一個格點取一點），以 three.js 函式庫（MIT 授權）繪製，只有切換到 3D 時才會下載。
參考資料