N 極
S 極
磁鐵的磁力線
穿過線圈的磁力線
感應電流
線圈內的磁通量圓盤（越深 Φ 越大）
速度 v
磁力 BIL
外力
感應電流
迴路面積（磁通量）
均勻磁場 B（立體箭頭）
側視圖。可以左右拖曳磁鐵，或讓它自動移動。相鄰兩條磁力線之間的磁通量相等，所以穿過線圈的磁力線條數代表磁通量。線圈只畫出 N 匝中的幾匝作示意。電流 I > 0 時檢流計指針向右偏。
俯視圖，依比例繪製。箭頭比例：速度每 1 m/s 畫 0.25 m，力每 1 N 畫 0.4 m（太長的箭頭截短並標「≈」）。Φ 以磁場方向為正；ε、I > 0 代表電流環繞方向與磁場方向成右手定則（磁場穿入紙面時為由上往下看順時針）。
3D 檢視：拖曳旋轉，滾輪或雙指縮放，右鍵或雙指拖曳平移；也可以沿線圈軸拖曳磁鐵。線圈畫出全部 N 匝（匝數多時每匝太細，改用 N 條沿螺旋排列的紋理）。磁力線與 2D 是同一組，繞線圈軸轉 8 個方向，所以穿過線圈的條數仍代表磁通量。桌面格線 1 cm（粗線 5 cm）。
3D 檢視：拖曳旋轉，滾輪或雙指縮放，右鍵或雙指拖曳平移。軌道平放在桌面上，2D 的俯視圖就是從正上方往下看。藍色箭頭是均勻磁場 B（磁場越強顏色越深）；速度與力的箭頭比例與 2D 相同（1 m/s → 0.25 m、1 N → 0.4 m）。桌面格線 10 cm（粗線 50 cm）。
背後的物理
通過一個迴路的磁通量代表穿過它的磁場「有多少」。均勻磁場 \(B\) 垂直穿過面積 \(A\) 時就是 \(\Phi_B = BA\)；一般情況要把磁場在整個面積上加總：
\[ \Phi_B = \int \vec{B}\cdot d\vec{A}, \qquad 1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T\,m^{2}} \]
法拉第定律：只要通過電路的磁通量改變，電路中就會產生感應電動勢。\(N\) 匝線圈的感應電動勢與磁通量的變化率成正比，而不是與磁通量本身成正比：
\[ \varepsilon = -N\,\frac{d\Phi_B}{dt}, \qquad I = \frac{\varepsilon}{R} \]
在圖上，任一時刻的 \(\varepsilon\) 等於 \(\Phi\)–\(t\) 曲線斜率的 \(-N\) 倍。\(\Phi\) 最大的地方（磁鐵在線圈正中央）斜率為零，所以電動勢為零。
冷次定律就是那個負號：感應電流的方向，使它自己產生的磁場反抗磁通量的變化。N 極接近時，線圈面向它的一端變成 N 極把它推開；N 極被拉走時，那一端變成 S 極把它拉回來。所以移動磁鐵一定要作功，這些功變成電路中的電能（最後變成熱）——冷次定律其實就是能量守恆。
\[ F_{\text{coil on magnet}}\,v = -I^{2}R \]
導體棒在軌道上
長度 \(L\) 的導體棒以速度 \(v\) 在均勻磁場 \(B\) 中移動，每秒掃過面積 \(Lv\)，所以通過迴路的磁通量變化率為 \(BLv\)：
\[ \Phi_B = BLx, \qquad \varepsilon = BLv, \qquad I = \frac{BLv}{R}, \qquad F = BIL = \frac{B^{2}L^{2}v}{R} \]
棒中電流受到的磁力永遠與運動方向相反（電磁煞車）。給初速後放開，由牛頓第二定律得到指數衰減，時間常數為 \(\tau\)；它的動能最後全部變成電阻上的熱：
\[ m\frac{dv}{dt} = -\frac{B^{2}L^{2}}{R}\,v \;\Rightarrow\; v = v_{0}\,e^{-t/\tau},\quad \tau = \frac{mR}{B^{2}L^{2}}, \qquad \int_{0}^{\infty} I^{2}R\,dt = \tfrac12 m v_{0}^{2} \]
總共滑行 \(v_{0}\tau\) 的距離。若以定力 \(F\) 拉動，棒會加速到磁力與 \(F\) 平衡，達到終端速度 \(v_{t}\)；此後外力作的功全部變成熱：
\[ v_{t} = \frac{FR}{B^{2}L^{2}}, \qquad v = v_{t} + (v_{0} - v_{t})\,e^{-t/\tau}, \qquad F v_{t} = I^{2}R \]
觀察重點
- ε 跟著 Φ 的斜率走：選「等速通過」，看 Φ–t 圖上的切線：切線最陡時 ε 最大；Φ 曲線的最高點切線是平的，ε = 0。
- 兩個方向相反的脈衝：磁鐵進入時 Φ 增加、離開時 Φ 減少，所以指針先往一邊偏，再往另一邊偏。
- 越快、匝數越多：速率或匝數加倍，峰值電動勢就加倍。但磁鐵「進入」的過程中流過的電量 \(q = N\,\Delta\Phi/R\) 卻與速率完全無關。
- 冷次定律：打開「感應磁極」。接近的 N 極總是遇到 N 極；離開的磁極總是被吸引。翻轉磁鐵，所有電流方向都反過來。
- 意想不到：讓磁鐵改由右往左通過，指針第一次偏轉的方向竟然一樣！在同一位置把速度反向確實會讓 ε 反向，但現在先碰到線圈的是另一個磁極。
- 靜止不動：把磁鐵拖到線圈正中央再放手。磁通量最大，電流卻是零——只有磁通量「改變」才會感應出電動勢。
- 電磁煞車：選「給初速後放開」，v、ε、I 都呈指數衰減。把 R 減半或 L 加倍，棒停得快多了（τ ∝ R/L2）。驗證最後的焦耳熱 Q 等於 ½mv02。
模擬方法
- 條形磁鐵以兩端附近的兩個磁極 \(\pm q\) 表示（磁極磁通量 \(\Phi_0 = \mu_0 q = 0.40\ \mathrm{mWb}\)，兩極相距 8.4 cm）。把它們的磁場對半徑 \(a\) 的圓形線圈面積積分，線圈套住磁鐵時再加上磁鐵內部的磁通量，得到連續的精確結果 \(\Phi = \tfrac{\Phi_0}{2}\big[g(x_N) - g(x_S)\big]\)，其中 \(g(u) = u/\sqrt{u^{2}+a^{2}}\)，\(x_N, x_S\) 是兩極到線圈的距離。
- \(N\) 匝線圈均勻分布在 4 cm 長的線圈上；圖中的 \(\Phi\) 是每匝的平均磁通量（同樣有精確公式），\(\varepsilon = -N\,(d\Phi/dx)\,v\) 用精確的微分計算。忽略線圈的自感。
- 用手拖曳時，磁鐵經由一條很硬、臨界阻尼的「彈簧」跟著手指移動，讓速度（以及 ε）連續變化。
- 導體棒的位置、速度、電流與焦耳熱全部由上面的解析解計算，所以每一刻的能量都精確守恆。
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3D 檢視：與 2D 用完全相同的數值——磁鐵位置、磁通量、電流、檢流計指針，以及導體棒的位置與受力，都在同一時刻由同一個物理核心算出。磁場對線圈軸對稱，所以立體的磁力線就是 2D 的磁力線（相鄰兩條之間磁通量相等）繞軸轉 8 個方向；在線圈中央平面上落在半徑 \(a\) 以內的磁力線會加亮。線圈內的圓盤顏色依每匝磁通量 \(\Phi\) 變深。線圈畫出全部 \(N\) 匝（右手螺旋繞法），導線上的光點與小箭頭沿感應電流的方向移動，\(|I|\) 越大移動越快。
- 3D 檢視使用 three.js 函式庫（MIT 授權），只有切換到 3D 時才會下載。