斜面與摩擦力

木塊放在可以抬高的木板上。改變斜面角度、質量與接觸面的材質，觀察靜摩擦力「需要多少給多少」，直到最大靜摩擦力 μsN 後滑動、改為動摩擦力 μkN。慢慢抬高斜面找出臨界角，用兩個光電門量下滑時間求出動摩擦係數，也可以沿斜面或水平推木塊。

試試看：按「慢慢抬高」，看紅色摩擦力箭頭變長，記下開始滑的角度。

重力 W = mg 重力的分量 正向力 N 摩擦力 f 外力 F 合力 ΣF

正負號：沿斜面方向，x、v、a、摩擦力與合力一律以沿斜面向下為正；外力 F 則以往上推（水平推時：推向斜面）為正。受力圖的箭頭依比例畫（比例尺在受力圖角落）；木板上的 F 箭頭只表示方向。拖曳木板抬高那一端的把手可以改變角度；也可以點一下畫面（或按 Tab 移到畫面）用方向鍵：↑／→ 變陡、↓／← 變平，每次 1°（按住 Shift 每次 5°）。

背後的物理

把重力 \(mg\) 分解成沿斜面與垂直斜面兩個分量。斜面以正向力 \(N\) 頂住木塊；沒有外力時，正向力剛好抵消垂直分量：

\[ W_{\parallel} = mg\sin\theta, \qquad W_{\perp} = mg\cos\theta, \qquad N = mg\cos\theta \]

靜摩擦力：需要多少給多少，但有上限

木塊靜止時，靜摩擦力是「讓木塊保持靜止所需要的力」——大小、沿斜面向上或向下都可以，但不能超過最大靜摩擦力 \(\mu_s N\)。如果需要的摩擦力比這個還大，木塊就開始滑動，摩擦力改為大小固定、與滑動方向相反的動摩擦力。真實的接觸面 \(\mu_k < \mu_s\)，所以一開始滑動，摩擦力會突然變小：

\[ 0 \le f_s \le \mu_s N \quad(\text{靜止}), \qquad f_k = \mu_k N \quad(\text{滑動}) \]

臨界角（休止角）

沒有外力時，只要 \(mg\sin\theta \le \mu_s\, mg\cos\theta\)，木塊就不會動。慢慢抬高斜面，木塊在臨界角 \(\theta_c\) 開始滑動。質量消掉了，所以同材質的木塊不論輕重都在同一個角度開始滑：

\[ \tan\theta_c = \mu_s \]

下滑與測量動摩擦係數

往下滑動時，沿斜面（向下為正）用牛頓第二定律，得到固定的加速度。由 \(x = 0\) 靜止釋放，木塊在 \(t_1\)、\(t_2\) 通過位置 \(x_1\)、\(x_2\) 的光電門，\(x = \tfrac12 a t^2\)，由此求出 \(a\)，再求出 \(\mu_k\)：

\[ ma = mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta \;\Rightarrow\; a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta) \] \[ a = \frac{2(x_2 - x_1)}{t_2^{2} - t_1^{2}}, \qquad \mu_k = \tan\theta - \frac{a}{g\cos\theta} \]

若 \(\tan\theta = \mu_k\)，加速度為零：已經在滑的木塊會等速下滑。但因為 \(\mu_s > \mu_k\)，在這個角度靜止放著的木塊不會自己開始動，要輕推一下。若 \(\tan\theta < \mu_k\)，滑動的木塊會減速、停下，然後重新被靜摩擦力「黏住」。

沿斜面推

沿斜面往上推，推力為 \(F\)。靜止時需要的摩擦力是 \(f = F - mg\sin\theta\)（向下為正）：\(F\) 小時摩擦力沿斜面向上，\(F > mg\sin\theta\) 之後改為向下。要 \(F > mg(\sin\theta + \mu_s\cos\theta)\) 才推得動；往上滑動時

\[ F - mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta = m a_{\text{上}} \]

水平推

水平推力 \(F\) 有沿斜面向上的分量 \(F\cos\theta\)，但另一個分量 \(F\sin\theta\) 把木塊壓向斜面，使正向力與摩擦力都變大：

\[ N = mg\cos\theta + F\sin\theta, \qquad F\cos\theta - mg\sin\theta - \mu_k(mg\cos\theta + F\sin\theta) = m a_{\text{上}} \]

要推得動需要 \(F(\cos\theta - \mu_s\sin\theta) > mg(\sin\theta + \mu_s\cos\theta)\)。當 \(\cos\theta \le \mu_s\sin\theta\)，也就是 \(\theta \ge 90^\circ - \theta_c\) 時，水平推力再大也推不上去（自鎖現象）。

摩擦力作功變成熱

動摩擦力永遠與滑動方向相反，作負功，大小等於產生的熱。它和路徑長有關（上去再下來要算兩段），不是位移。功能定理在任何時刻都成立：

\[ Q = -W_f = \mu_k N \times (\text{路徑長}), \qquad \Delta\!\left(\tfrac12 m v^2\right) = W_g + W_F + W_f \]

觀察重點

模擬方法

參考資料