飛行中的軌道
預測軌道（尚未發射）
速度 v
圓周速率圈 v圓
脫離速率圈 v脫
角動量 h = r × v（垂直於軌道面，只表示方向）
軌道面（距離圈）
拖曳發射點可移動位置，拖曳紅色箭頭的尖端可設定發射速率與方向。箭頭長度與速率成正比；箭頭尖端碰到綠色或橙色虛線圈時，速率剛好等於圓周速率或脫離速率（靠近時會自動吸附）。按「發射」後，之前的軌道會留下淡淡的殘影。
拖曳旋轉，滾輪或雙指縮放，右鍵或雙指拖曳平移。按側面看軌道面：整條軌道縮成一條通過中心天體的線——運動一直在同一個平面上。發射條件用滑桿調整（拖曳把手請用 2D 平面）。軌道與箭頭比例都和 2D 畫面相同。
圓錐截痕：用一個平面去截圓錐，截口就是圓、橢圓、拋物線或雙曲線。畫面上的圓錐只是幾何輔助（由軌道的近心點與離心率算出）：它和軌道面的交線正好就是這條軌道，中心天體就在焦點上。
背後的物理
環繞的物體（質量 \(m\)）受到中心天體（質量 \(M \gg m\)）的萬有引力，力永遠指向中心，所以運動保持在同一個平面上：
\[ \vec{F} = -\frac{G M m}{r^{2}}\,\hat{r}, \qquad \vec{a} = -\frac{G M}{r^{2}}\,\hat{r} \]
每公斤的力學能 \(\varepsilon\) 與角動量 \(h\) 都守恆（萬有引力是保守力，而且對中心沒有力矩）：
\[ \varepsilon = \frac{v^{2}}{2} - \frac{GM}{r} = \text{constant}, \qquad h = |\vec{r} \times \vec{v}| = r v \sin\theta = \text{constant} \]
圓周速率與脫離速率
圓軌道上，萬有引力剛好提供向心力；要脫離，動能必須讓 \(\varepsilon\) 至少等於零：
\[ \frac{GMm}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r} \Rightarrow v_{\text{circ}} = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GMm}{r} = 0 \Rightarrow v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2}\, v_{\text{circ}} \]
在地球表面附近，這就是第一宇宙速度約 \(7.9\ \mathrm{km/s}\) 與第二宇宙速度約 \(11.2\ \mathrm{km/s}\)。
軌道的形狀是圓錐曲線
解牛頓運動方程式，得到以中心天體為一個焦點的圓錐曲線 \(r = \dfrac{p}{1 + e\cos\nu}\)，其中 \(\nu\) 是由最近點（近日點、近地點）量起的角度，\(p = h^{2}/GM\)，\(e\) 為離心率。能量決定軌道類型：
\[ e = \sqrt{1 + \frac{2\varepsilon h^{2}}{(GM)^{2}}}, \qquad
\begin{cases} \varepsilon < 0: & 0 \le e < 1,\ \text{橢圓（}e = 0\text{ 時為圓）} \\ \varepsilon = 0: & e = 1,\ \text{拋物線} \\ \varepsilon > 0: & e > 1,\ \text{雙曲線} \end{cases} \]
橢圓的半長軸只由能量決定，\(a = -\dfrac{GM}{2\varepsilon}\)，由此得到軌道上任一點速率的活力方程式，以及最近與最遠距離 \(r_p = a(1-e)\)、\(r_a = a(1+e)\)：
\[ v^{2} = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) \]
克卜勒三大定律
- 第一定律（軌道定律）：行星沿橢圓軌道運行，太陽在橢圓的一個焦點上。
- 第二定律（面積定律）：太陽到行星的連線在相等時間內掃過相等的面積。這就是角動量守恆：極短時間 \(\Delta t\) 內掃過的三角形面積為 \(\tfrac12 r \cdot v\Delta t \sin\theta\)，所以
\[ \frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{1}{2} r v \sin\theta = \frac{h}{2} = \text{constant} \]
- 第三定律（週期定律）：週期的平方與半長軸的三次方成正比，比值只與中心天體的質量有關：
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{a^{3}}{GM}}, \qquad \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{GM} \]
以太陽為中心，\(T\) 用年、\(a\) 用天文單位（AU）時，\(T^{2}/a^{3} \approx 1\ \mathrm{yr^{2}/AU^{3}}\)。
觀察重點
- 速率決定形狀：水平發射（\(\alpha = 0\)），把 \(v_0\) 一步步加大。小於 \(v_{\text{圓}}\) 時發射點是遠日點；等於 \(v_{\text{圓}}\) 時是圓；介於 \(v_{\text{圓}}\) 與 \(v_{\text{脫}}\) 之間時發射點變成近日點；等於 \(v_{\text{脫}}\) 時變成拋物線，再大就是雙曲線，一去不回。
- 速率相同、方向不同：保持 \(v_0\)、只改仰角 \(\alpha\)。能量相同，所以半長軸 \(a\) 與週期 \(T\) 都不變，只有離心率與方向改變。
- 面積相等：在偏心的軌道上打開等時間扇形。近日點附近的扇形短而寬，遠日點附近的細而長，但 12 塊面積都相等。行星在近日點最快：\(v_p r_p = v_a r_a\)。
- 克卜勒第三定律：按「\(v_0 = v_{\text{圓}}\)」，在 \(r_0 = 0.5\)、\(1\)、\(2\ \mathrm{AU}\) 各發射一個圓軌道，再發射一兩個橢圓：表中每一列的 \(T^{2}/a^{3}\) 都相同，所有點落在同一條通過原點的直線上。改變 \(M\) 再發射：新的點落在另一條直線上，因為比值是 \(4\pi^{2}/GM\)。
- 軌道在一個平面上：切換到 3D 檢視，按「側面看軌道面」：整條軌道縮成一條通過中心天體的線。萬有引力永遠指向中心，對中心沒有力矩，所以 \(\vec{h} = \vec{r} \times \vec{v}\)（垂直於軌道面的綠色箭頭）方向不變。按「正面看軌道面」就和 2D 畫面相同。再打開「圓錐截痕」：用平面去截圓錐，截口正好就是這條軌道。
- 人造衛星：選地球。在 \(r_0 = 42\,164\ \mathrm{km}\) 以圓周速率（約 \(3.07\ \mathrm{km/s}\)）水平發射，週期約 \(23.93\ \mathrm{h}\)，就是地球同步軌道。從低軌道發射得太慢，衛星會撞上地球。
模擬方法
- 程式由發射時的位置與速度算出 \(\varepsilon\)、\(h\)、指向近日點的離心率向量 \(\vec{e} = \dfrac{(v^{2} - GM/r)\,\vec{r} - (\vec{r}\cdot\vec{v})\,\vec{v}}{GM}\)、\(a\) 與通過近日點的時刻。
- 任一時刻的位置由克卜勒方程式求出，每一幀都解到電腦的最高精度：橢圓 \(M = n(t - t_p) = E - e\sin E\)、雙曲線 \(M = e\sinh H - H\)、拋物線用 Barker 方程式，其中 \(n = \sqrt{GM/|a|^{3}}\)。沒有逐步的數值積分，能量與角動量完全守恆，軌道不會漂移。
- 表中的扇形面積是由軌道的幾何形狀量出來的（以焦點為頂點的細長三角形加總），再與 \(h\,\Delta t/2\) 比較。
- 中心天體視為固定不動（質量遠大於環繞物體），環繞物體視為質點。地球依比例畫出；太陽實際上非常小，為了看得見而畫得比實際大。動畫時間依「時間倍率」加快。
- 3D 立體檢視：畫的是同一條軌道，由與 2D 畫面相同的程式計算（軌道曲線、由克卜勒方程式求出的位置與速度、等時間扇形、近日點與遠日點）。軌道面是 \(z = 0\) 的平面，中心天體在原點，\(z\) 軸沿 \(\vec{h} = \vec{r} \times \vec{v}\) 的方向；綠色箭頭只表示它的方向。速度箭頭與 2D 使用相同比例，「視野」滑桿決定相機框住的範圍。星空、軌道面的格線與底色、地球的影子、地球自轉（每恆星日一圈，把軌道面畫成赤道面）與圓錐都只是視覺輔助。3D 檢視使用 three.js 函式庫（MIT 授權），只有切換到 3D 時才會下載。