帶電粒子在磁場中運動

調整電荷、質量、速度與磁場，按「發射」觀察粒子的圓周運動；速度與磁場不垂直時則是螺旋運動（可切換 3D 檢視）。再加上電場，做出速度選擇器與 E×B 漂移。點擊或拖曳 2D 畫布可改變出發點。

B 射出紙面 B 射入紙面 磁場 B（沿 z 軸） 正電荷 負電荷 速度 v 磁力 F（勞侖茲力） 電場 E、電力 qE 圓軌道與圓心 迴旋圓與螺旋軸

時間以慢動作播放；畫面寬 24 cm。

拖曳旋轉，滾輪或雙指縮放，右鍵或雙指拖曳平移；底面格線間距 2 cm，z 軸刻度以 cm 標示。

背後的物理

帶電粒子在磁場中所受的磁力稱為勞侖茲力，方向由右手定則決定（負電荷相反）：

\[ \vec F = q\,\vec v \times \vec B \qquad F = |q|\,vB\sin\theta \]

本模擬的磁場垂直紙面。速度在紙面內（\(\theta = 90^\circ\)）時，磁力的大小固定為 \(|q|vB\)，方向永遠垂直於速度。磁力只改變速度的方向、不改變速率，因此磁力不做功，動能不變。這個「大小固定、永遠垂直於速度」的力，正好提供等速圓周運動的向心力：

\[ |q|vB = \frac{mv^{2}}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{mv}{|q|B} \] \[ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{|q|B} \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{|q|B}{2\pi m} \]

週期 \(T\) 與速率 \(v\) 無關：跑得快的粒子圓也比較大，繞一圈所需時間恰好相同（迴旋加速器就是利用這個性質）。

螺旋運動：速度與磁場不垂直

如果速度與 \(\vec B\) 的夾角為 \(\theta\)，把速度分解成垂直於磁場與平行於磁場的兩個分量：

\[ v_{\perp} = v\sin\theta \qquad v_{\parallel} = v\cos\theta \]

磁力 \(q\vec v\times\vec B\) 只與 \(v_{\perp}\) 有關，而且垂直於 \(\vec B\)，所以不會改變 \(v_{\parallel}\)。沿著磁場方向看，粒子以 \(v_{\perp}\) 做等速圓周運動；沿著磁場方向則以 \(v_{\parallel}\) 等速前進，合起來就是螺旋線。每轉一圈沿 \(\vec B\) 前進的距離稱為螺距：

\[ r = \frac{m v_{\perp}}{|q|B} \qquad T = \frac{2\pi m}{|q|B} \qquad p = v_{\parallel}T = \frac{2\pi m\, v_{\parallel}}{|q|B} \]

週期與圓周運動相同。\(\theta = 90^\circ\) 時螺距為零，螺旋線變成圓；\(\theta = 0^\circ\) 或 \(180^\circ\) 時速度與磁場平行，完全不受磁力，粒子沿 \(\vec B\) 直線前進。2D 畫面看到的是投影到紙面（垂直於 \(\vec B\)）上的運動，所以螺旋線看起來是半徑 \(r\) 的圓；3D 檢視可以看到完整的螺旋。

速度選擇器

再加上一個與 \(\vec v\)、\(\vec B\) 都垂直的電場，讓電力 \(q\vec E\) 與磁力 \(q\vec v\times\vec B\) 方向相反。兩力大小相等時合力為零，粒子直線前進：

\[ |q|E = |q|vB \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{E}{B} \]

條件中沒有 \(q\) 和 \(m\)：只要速率剛好等於 \(E/B\)，不論正負電荷、質量多少都能直線通過；比較快的粒子磁力較大、比較慢的粒子電力較大，都會偏離。（若 \(\theta \ne 90^\circ\)，只有 \(v_{\perp}\) 受磁力，條件變成 \(v_{\perp} = E/B\)。）

延伸：E×B 漂移

速率不等於 \(E/B\) 時，粒子一邊繞圈、一邊以固定的速度沿 \(\vec E\times\vec B\) 方向前進（由靜止釋放時軌跡是擺線）：

\[ \vec v_{d} = \frac{\vec E \times \vec B}{B^{2}} \qquad |\vec v_{d}| = \frac{E}{B} \]

在以 \(\vec v_{d}\) 移動的座標系中看，電場的效果剛好被抵消，粒子只做半徑 \(m|\vec v - \vec v_{d}|/(|q|B)\) 的圓周運動。畫面上的虛線圓與圓心標記就是這個「導引中心」。

觀察重點

模擬方法與單位