月球軌道（黃道面上方）
（黃道面下方）
升交點／降交點
本影與半影
台灣
拖曳月球沿軌道移動、拖曳升交點轉動交點線，或拖曳小小的近地點標記。地球與月球畫得比實際大（畫面角落寫著放大幾倍）——按真實比例看看它們實際有多小。
拖曳旋轉，滾輪或雙指縮放，右鍵或雙指拖曳平移。月球、軌道與影子都和 2D 畫面相同；用滑桿調整。
從地球看到的月亮——從台灣看，天頂朝上
影子的截面——順著陽光方向看，依比例
從台灣看的天空（北緯 23.5°、東經 121°）——面向南方的 360° 全景，虛線是今天的路徑
背後的物理
月相的成因
月球本身不發光，朝向太陽的那一半永遠是亮的；我們從地球「斜著」看這個亮的半球。設相角 \(i\) 是在月球上看太陽與地球兩個方向的夾角，從地球看到月面被照亮的比例是
\[ k = \frac{1 + \cos i}{2} \approx \frac{1 - \cos\psi}{2}, \qquad i \approx 180^\circ - \psi \]
其中 \(\psi\) 是距角，也就是在地球上看太陽與月球的夾角。近似式把太陽當成無窮遠；精確的相角還要再減去在太陽處的小角 \(\sigma\)，\(\sin\sigma = r\sin\psi / d\)（最多約 \(0.15^\circ\)）。所以上弦時 \(\psi = 90^\circ\)，\(k\) 比一半多一點點。
- 新月（0°）：與太陽同升同落，看不到。眉月：日落後在西方低空。上弦月（90°）：約中午升起、黃昏時最高、約半夜落下。滿月（180°）：日落時升起、日出時落下。下弦月（270°）：約半夜升起、中午落下。殘月：黎明前在東方。
- 月球相對太陽每天向東移動約 \(12.2^\circ\)，所以月出、上中天、月落平均每天延後 \(24\,\mathrm{h}\times\left(\dfrac{P_{\text{朔望}}}{P_{\text{朔望}}-1}-1\right) \approx 50\) 分鐘。
- 亮面永遠朝向太陽（沿天球上的大圓）。台灣在北回歸線附近，黃道與地平線的夾角很大，所以傍晚西方的眉月常常幾乎「躺著」、亮面朝下，像一艘小船。
恆星月與朔望月
在一個恆星月 \(P_{\text{恆}} = 27.321\,66\) 日裡，月球相對恆星繞地球一圈；但這段時間地球也繞太陽走了約 \(27^\circ\)，月球要再多走約 2.2 天，才會再和太陽排成同一個月相。每天轉過的角度滿足
\[ \frac{360^\circ}{P_{\text{朔望}}} = \frac{360^\circ}{P_{\text{恆}}} - \frac{360^\circ}{Y} \;\Rightarrow\; P_{\text{朔望}} = \frac{1}{\dfrac{1}{27.321\,66\ \text{日}} - \dfrac{1}{365.256\,36\ \text{日}}} = 29.5306\ \text{日} \]
其中 \(Y\) 是恆星年。同樣的道理，交點線每 18.6 年向西退行一圈，所以交點月（交點到交點）是 \(27.212\,22\) 日；近地點每 8.85 年向東前進一圈，所以近點月（近地點到近地點）是 \(27.554\,55\) 日。
為什麼不是每個月都有日月食
日食要在新月（朔）、月食要在滿月（望），但這還不夠。月球軌道對黃道傾斜 \(5.145^\circ\)，大多數的朔與望，月球都從太陽或地影的上方或下方錯過。只有當朔或望剛好發生在交點（月球軌道穿過黃道面的兩點）附近，也就是交點線大致指向太陽時，才會發生日月食。這樣的時段每年有兩次、每次約一個多月，稱為食季；因為交點在退行，太陽回到同一個交點只要 \(346.6\) 日（食年）。
本影與半影
太陽不是一個點。半徑 \(R_b\) 的天體在距離太陽（半徑 \(R_\odot\)）\(D\) 處，身後有圓錐形的本影（整個太陽都被擋住）與越來越寬的半影（只擋住一部分太陽）。在天體後方 \(x\) 處，兩者的半徑是
\[ r_u = (L_u - x)\tan\alpha,\quad L_u = \frac{D R_b}{R_\odot - R_b},\ \sin\alpha = \frac{R_\odot - R_b}{D}; \qquad r_p = (L_p + x)\tan\beta,\quad L_p = \frac{D R_b}{R_\odot + R_b},\ \sin\beta = \frac{R_\odot + R_b}{D} \]
- 地球的本影長 \(1.38\times10^{6}\ \mathrm{km}\)，在月球距離處半徑約 \(4600\ \mathrm{km}\)（月球半徑的 2.6 倍），半影約 \(8200\ \mathrm{km}\)。整個月球進入本影是月全食，部分進入是月偏食，只進入半影是半影月食（月亮只是稍微變暗）。
- 月全食時月亮是紅銅色：地球大氣把陽光折射進本影；陽光斜穿過厚厚的大氣時，藍光被散射掉（和夕陽是紅色的原因相同），照到月球的主要是紅光。（模擬畫出這個顏色，亮度有調亮以便看見。）
- 月球的本影長約 \(3.73\times10^{5}\ \mathrm{km}\)，幾乎等於月地距離。月球軌道是橢圓（\(363\,300\) 到 \(405\,500\ \mathrm{km}\)），所以本影的尖端有時碰得到地面——日全食（月球看起來比太陽大），有時碰不到——日環食（月球周圍露出一圈太陽）。在本影外、半影裡的人看到日偏食。
\[ \theta = 2\arcsin\frac{R}{d}:\quad \theta_{\text{月}} = 29.5'\ \text{（遠地點）} \sim 32.9'\ \text{（近地點）},\qquad \theta_{\text{日}} = 32.0' \ \text{（1 AU）} \]
中心食的分界，是本影尖端剛好碰到地面：月地中心距離約 \(379\,800\ \mathrm{km}\)。在那一點的地面上，月球與太陽的視直徑正好相等。
觀察重點
- 月相：把月球拖一圈，對照被照亮的比例與台灣天空中的月亮。外圈的八個月相是「從地球看」的樣子（俯視圖中，月球永遠是朝太陽的那一半亮）。
- 月出時刻：把月球放在上弦（90°），移動時間滑桿，直到月亮在東方地平線上——大約是中午。按「+1 天」，月出時刻延後約 50 分鐘。
- 2.2 天：按「+1 恆星月」：月球回到同一顆恆星的方向，月相卻還沒回來；再按「+1 朔望月」比較。
- 製造月食：把月球放在滿月（180°），再拖曳升交點，讓交點線指向太陽。看影子截面圖：月球走進本影。把交點轉開 20°，月食就消失了。
- 全食還是環食：在交點上的新月，把近地點轉向月球（全食）或轉到背面（環食）。
- 食季：先做出一次中心食，加快速度播放：半年後太陽來到另一個交點，日月食又出現；交點在退行，所以食季每年提早約 19 天。
模擬方法
- 使用的數值：地球自轉軸傾角 \(23.44^\circ\)；月球軌道對黃道傾角 \(5.145^\circ\)、半長軸（平均距離）\(384\,400\ \mathrm{km}\)、離心率 \(0.0549\)；恆星月 \(27.321\,66\) 日、恆星年 \(365.256\,36\) 日、交點退行 18.6 年、近地點前進 8.85 年；半徑：地球 \(6371\ \mathrm{km}\)、月球 \(1737.4\ \mathrm{km}\)、太陽 \(696\,000\ \mathrm{km}\)；日地距離 1 AU \(= 149\,597\,870.7\ \mathrm{km}\)。來源：NASA NSSDCA 月球與地球資料表、IAU 2012 天文單位定義、J. Meeus《Astronomical Algorithms》的平均月份長度。
- 運動：太陽沿黃道等速移動（圓軌道）。月球的平均黃經隨恆星月等速增加，在橢圓上的位置由克卜勒方程式 \(M = E - e\sin E\) 每一幀解到電腦的最高精度（所以月球在近地點附近走得快，單一個朔望月約在 29.3 到 29.8 日之間）；再把軌道沿交點線傾斜。沒有逐步的數值積分，不會累積誤差。
- 月相與日月食：被照亮的比例由三維位置算出的精確相角求得。日月食由上面的本影、半影圓錐精確判斷：月食看地影在月球處的大小；日食看月影落在球形地球上的情形（全食或環食在影軸與地面的交點判斷）。影子截面圖是在垂直陽光的平面上依比例畫出。
- 台灣的天空：觀測者在球形地球上的北緯 23.5°、東經 121°；恆星時由平太陽決定（太陽在中午前後約 10 分鐘內上中天）。升起、落下是指上緣碰到地平線，並計入 \(34'\) 的大氣折射；時刻由掃描一整天再二分法求得。
- 簡化：地球軌道當成圓（實際日地距離 0.983 到 1.017 AU，太陽視直徑 31.5′ 到 32.5′）；沒有計入太陽對月球的攝動（出差等，最多約 1.3°）與大氣使地影變大約 2%；忽略歲差。這是幾何模型，不是日月食預報——真實的日月食日期請查中央氣象署或 NASA。模型的日曆沒有年份，日期由太陽的位置決定。月面暗部的地球照與日月食的顏色都調亮了，方便看見。
- 3D 立體檢視：位置由同一份程式計算；地球、月球、軌道與影子錐使用與 2D 相同的比例（放大或真實比例）。太陽畫得比實際近得多、也小得多（實際在 389 倍月地距離外），光線則和實際一樣是平行光。3D 檢視使用 three.js 函式庫（MIT 授權），只有切換到 3D 時才會下載。
參考資料
- 課綱對應：高中地球科學・從地球看星空（月相、日食與月食）
- 天文數據：月球平均距離 \(384\,400\ \mathrm{km}\)、離心率 0.0549、軌道傾角 \(5.145^\circ\)、半徑 \(1737.4\ \mathrm{km}\) 與恆星月出自 NASA NSSDCA 月球資料表；地球半徑 \(6371\ \mathrm{km}\)、自轉軸傾角 \(23.44^\circ\)、恆星年出自地球資料表；太陽半徑出自太陽資料表（表中為 \(695\,700\ \mathrm{km}\)，本頁用取整的 \(696\,000\ \mathrm{km}\)，使全食／環食分界移動不到 200 km）；1 AU \(= 149\,597\,870\,700\ \mathrm{m}\)（定義值，IAU 2012 年 B2 決議，見 IAU 決議列表）；恆星月、朔望月、交點月、近點月與 18.6 年的交點退行出自 J. Meeus《Astronomical Algorithms》（第 2 版，1998）。
- 延伸閱讀：NASA Science〈Moon Phases〉與〈Eclipses〉（英文）；真實的日月食日期與路徑圖：NASA Eclipse Web Site。