力學車放在軌道上,細繩經過滑輪掛著吊掛物。打點計時器在紙帶上打點,把紙帶剪成等時距的紙條貼成 v–t 圖,就能讀出加速度。先墊高軌道平衡摩擦力,再收集數據畫出 a–F 圖與 a–1/(M+m) 圖——這就是課本上的經典實驗。
試試看:按「放開小車」,看紙條頂端是否連成直線,斜率就是加速度。
側視圖,依比例繪製(小車由起點到擋板跑 50 cm)。受力圖中所有箭頭用同一個比例;小車的重力與正向力大很多,箭頭截短並標「≈」。虛線箭頭 Mg sin θ 是軌道傾斜時小車重力沿軌道的分量。
上方是取下的紙帶,第一點(放開的瞬間)在左邊,虛線是剪開的位置。下方把紙條依序並排貼好:每條代表相同的時間 τ,長度 = 平均速度 × τ,連接紙條頂端的直線就是 v–t 圖,斜率就是加速度。
每次掛著吊掛物跑到擋板,量得的加速度會自動加入下面選定的圖表。
小車(質量 \(M\))與吊掛物(質量 \(m\))由輕繩相連,繩子經過輕而無摩擦的滑輪,所以兩者一起運動、加速度 \(a\) 相同,繩上各處的張力 \(T\) 也相同。對兩個物體分別寫牛頓第二定律(軌道傾角 \(\theta\),摩擦力 \(f\) 與運動方向相反):
兩式相加消去 \(T\):整個系統 \(M + m\) 由沿著繩子方向的合外力加速。
水平軌道(\(\theta = 0\))時 \(a = (mg - f)/(M+m)\)、\(T = Ma + f\)。張力永遠小於吊掛物的重量 \(mg\),因為吊掛物正在向下加速。
把軌道遠離滑輪的一端墊高,讓小車重力沿軌道的分量抵消摩擦力。取下吊掛物推一下,小車就會等速前進(紙帶上的點間距相等):
這個條件與 \(M\) 無關,所以之後在車上加減砝碼仍然保持平衡。平衡摩擦力之後:
課本常用的近似「繩子拉小車的力 \(F \approx mg\)」只有在 \(m \ll M\) 時才準確,相對誤差是 \(m/(M+m)\)。
打點計時器每隔 \(1/f\) 秒打一點。臺灣的家用電源是 60 Hz,所以預設每秒打 60 點;每 6 個間隔取一個計數點,恰好是 \(0.1\ \mathrm{s}\)。把紙帶每 \(N\) 個間隔剪成一條,每條代表相同的時間 \(\tau = N/f\)。紙條長度 \(\Delta x_n\) 是這段時間走的距離,\(\Delta x_n/\tau\) 就是平均速度;等加速度時,它等於這段時間中間時刻的瞬時速度。等加速度運動時,相鄰紙條每次增加的長度都相同:
所以把紙條並排貼好(寬度相同、底部對齊),頂端會排成一直線,這就是 \(v\)–\(t\) 圖:斜率是 \(a\),截距是第一點時的速度。
平衡摩擦力之後,加速整個系統 \(M + m\) 的力是 \(F = mg\)。想改變 \(F\) 又不改變被加速的質量,就把槽碼從車上移到吊鉤:\(M + m\) 不變,於是 \(a = F/(M+m)\) 是通過原點的直線,斜率為 \(1/(M+m)\)。若改以 \(m\) 為橫軸,斜率為 \(g/(M+m)\),斜率乘以總質量就是重力加速度 \(g\) 的測量值。
如果只在吊鉤上加砝碼(\(M\) 不變),總質量也跟著變大:\(a = gm/(M+m)\) 會向下彎,永遠不會超過 \(g\),而且愈來愈低於課本近似直線 \(a = mg/M\)。如果沒有平衡摩擦力,固定總質量時仍是直線,但不通過原點,而是交在 \(F\) 軸上「拉力剛好克服摩擦」的地方。
固定 \(m\)(也就是 \(F = mg\) 固定),改變車上的砝碼,則 \(a = mg \cdot \dfrac{1}{M+m}\):通過原點的直線,斜率就是拉力 \(mg\)。若改以 \(1/M\) 為橫軸(忽略吊掛物的質量),得到的是曲線,只有在 \(M \gg m\) 時才接近直線。
小車上寬 \(w\) 的遮光片擋住光閘的時間為 \(\Delta t\),\(v = w/\Delta t\) 是通過光閘的平均速率。兩光閘相距 \(d\):