歐姆定律與電路（電阻的測量）

把課本實驗搬到桌上：直流電源供應器、十進位可變電阻箱、毫安培計與伏特計。逐次調高電壓、記錄電表讀數、畫出 I–V 圖。比較伏特計的兩種接法，看看各自為什麼量到的電阻會有一點點偏差；再看燈泡如何不遵守歐姆定律，最後用三用電表直接驗證。

試試看：把電源由 0 V 逐次調高、每次按「記錄」，再換「安培計外接法」比較電阻。

移動的電荷（傳統電流方向）紅色導線（＋）黑色導線（－）伏特計的導線（外圈綠色）

電荷移動的速率與電流成正比，比例跟著毫安培計的檔位（滿刻度電流約每秒 60 像素）。伏特計那一路只分到很小的電流，所以電荷幾乎不動。下方是同兩個電表的錶面特寫：依照所用的檔位讀刻度。

實驗步驟

電表歸零：沒有電流時指針要指在 0（含誤差模式要按「電表歸零」）。
選待測元件與接法；電表先用最大的檔位。
電源由 0 V 逐次調高；換到指針偏轉最大又不超出刻度的檔位，每次按「記錄」（至少 6 點）。
看 I–V 圖：通過原點的最佳直線，斜率就是 1/R。
換另一種接法重做，比較兩個結果。
換其他元件重做（銅線 a、鎳鉻線 e、燈泡……）。
把電源調到 0 V，用三用電表直接量元件的電阻。

電源與可變電阻箱

電源供應器的輸出（電動勢）ε

可變電阻箱 R_箱

電源內電阻（含導線）0.5 Ω。電阻箱用來限制電流，四個旋鈕可調 0–9999 Ω。點一下數字可直接輸入精確數值。

待測元件

—

接法與電表

伏特計接在哪裡：

毫安培計檔位：

伏特計檔位：

—

讀數：

理想：指針指到哪就讀到哪。含誤差：指針一開始沒有對準 0，每次讀數估讀到最小刻度的一半，並帶有小小的隨機誤差。兩種模式下，電表的內電阻都存在。

I–V 圖與數據表

與課本相同，橫軸是電壓 V、縱軸是電流 I。圖上是目前選定元件的數據點：藍色為外接法、紅色為內接法；實線是通過原點的最佳直線，虛線是元件真正的電阻。

實驗目的

學會把安培計串聯、伏特計並聯接進電路，並用它們測量金屬導線的電阻。
驗證歐姆定律：溫度不變的金屬，電流與電壓成正比。
了解電表本身造成的系統誤差，並依待測電阻的大小選擇較好的接法。
練習用三用電表直接量電阻。

實驗器材

直流電源供應器（0–15 V）
十進位可變電阻箱（0–9999 Ω）
毫安培計（5／50／500 mA 三檔）
伏特計（3／15 V 兩檔）
數位三用電表（含測試棒）
待測元件：銅線、鎳鉻線、碳膜電阻、小燈泡
紅、黑接線數條

本模擬使用的導線（20 °C 的電阻率：銅 1.7 × 10⁻⁸ Ω·m、鎳鉻合金 1.5 × 10⁻⁶ Ω·m）：

導線	a	b	c	d	e
材料	銅	銅	銅	銅	鎳鉻
直徑（mm）	0.28	0.14	0.28	0.14	0.14
長度（m）	10	10	20	20	10
ρL/A（Ω）	2.76	11.0	5.52	22.1	974

原理

歐姆定律與電阻率

溫度維持不變的金屬，流過的電流 \(I\) 與兩端的電壓 \(V\) 成正比，比值固定，就是它的電阻 \(R\)。電阻由材料（電阻率 \(\rho\)）、導線長度 \(L\) 與截面積 \(A\) 決定：

\[ R = \frac{V}{I} \] \[ R = \rho\,\frac{L}{A} = \rho\,\frac{4L}{\pi d^{2}} \]

在 \(I\)–\(V\) 圖上（橫軸 \(V\)、縱軸 \(I\)），遵守歐姆定律的導體是一條通過原點的直線，斜率為 \(1/R\)。長度加倍，電阻加倍；直徑減半，電阻變成 4 倍。

真實的電表會影響電路

理想的安培計沒有電阻，理想的伏特計不會分走電流。真實的電表都有內電阻：安培計的 \(r_A\) 只有幾歐姆以下，伏特計的 \(r_V\) 有幾千歐姆。本模擬的毫安培計在滿刻度時兩端電壓 0.1 V，所以 5、50、500 mA 三檔的 \(r_A\) 分別是 \(20\ \Omega\)、\(2\ \Omega\)、\(0.2\ \Omega\)；伏特計每伏特的檔位有 1000 Ω，所以 \(r_V = 3\ \mathrm{k\Omega}\) 與 \(15\ \mathrm{k\Omega}\)。因此，量到的 \(R' = V/I\) 永遠不會剛好等於 \(R\)。

安培計內接法（伏特計跨在安培計與 \(R\) 兩端）：安培計量到的是真正的電流，但伏特計多量了安培計上的電壓，所以結果一定偏大，剛好多了 \(r_A\)：

\[ R' = \frac{I R + I r_A}{I} = R + r_A \]

安培計外接法（伏特計只跨在 \(R\) 兩端）：伏特計量到的是真正的電壓，但安培計多算了流過伏特計的小電流，所以結果一定偏小，等於 \(R\) 與 \(r_V\) 並聯：

\[ R' = \frac{V}{\dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{r_V}} = \frac{R\,r_V}{R + r_V} \]

兩種接法的相對誤差分別是 \(r_A/R\)（內接）與約 \(R/r_V\)（外接）。所以高電阻（\(R \gg r_A\)）用安培計內接法，低電阻（\(R \ll r_V\)）用安培計外接法；兩者誤差相同的分界大約在 \(R \approx \sqrt{r_A r_V}\)。

\[ \frac{R'-R}{R}\Big|_{\text{內接}} = \frac{r_A}{R} \] \[ \frac{R-R'}{R}\Big|_{\text{外接}} = \frac{R}{R + r_V} \]

燈泡不遵守歐姆定律

燈泡的鎢絲在電流變大時溫度升高，鎢的電阻大約與 \(T^{1.2}\) 成正比，所以 \(I\)–\(V\) 圖會向 \(V\) 軸彎下去：\(V/I\) 一直變大。額定 2.5 V、0.3 A 的小燈泡發光時約 8.3 Ω，冷的時候只有約 0.7 Ω，相差十倍以上。這也是三用電表（用很小的電流量）量燈泡時，讀數小得驚人的原因。

實驗步驟

接線前先確認兩個電表的指針都指在 0，沒有的話轉動指針下方的歸零螺絲。分清楚紅色＋（電流流入）與黑色－（電流流出）的接頭。
把電源、電阻箱、毫安培計與待測元件串聯；伏特計並聯在元件兩端（安培計外接法），或跨在安培計與元件兩端（安培計內接法）。兩個電表都先接最大檔位。
電源由 0 V 開始，每次調高一點。指針偏轉太小時換小一點的檔位——指針偏轉超過一半時讀數最準。每次記下 V 與 I。
畫出 I–V 圖，作通過原點的最佳直線，斜率的倒數就是 R。
改用另一種接法重做；再換其他導線（以及燈泡）重做。
最後關掉電源、把元件從電路上拆下，用三用電表的 Ω 檔直接量它的電阻。

注意事項

安培計一定要串聯、伏特計一定要並聯。把安培計並聯在元件兩端幾乎等於短路，可能燒壞電表。
檔位一律由大到小換。指針猛力打過滿刻度可能會撞彎。
讀數時眼睛要正對指針：有鏡面的電表，指針要和鏡中倒影重合（避免視差）。估讀到最小刻度的一半。
不要讓大電流長時間流過：細導線會發熱，電阻跟著改變。量完一筆就把電流調小。
三用電表量電阻時，電路一定不能通電，而且要先把元件從電路上拆下，否則量到的是它和電路其他部分並聯後的電阻。
燈泡有額定電壓，遠超過額定電壓時燈絲會燒斷。

問題與討論

銅線 b（約 11 Ω）用安培計內接法、50 mA 檔量，得到約 13 Ω。多出來的 2 Ω 是哪裡來的？要怎麼量得更準？
鎳鉻線 e（約 974 Ω）用哪一種接法比較準？估計兩種接法的誤差。
為什麼兩種接法的誤差在大約 √(r_A r_V) 時一樣大？
燈泡的 I–V 圖是彎的。燈泡遵守歐姆定律嗎？它的電阻是多少？
三用電表量燈泡只有約 0.7 Ω，但 2.5 V 時的 V/I 約 8 Ω。是其中一個量錯了嗎？
導線 a 與 c 直徑相同，a 與 b 長度相同。它們的電阻告訴你什麼？

看參考答案

伏特計連安培計上的電壓也量進去了，50 mA 檔的內電阻是 2 Ω：\(R' = R + r_A\)。改用安培計外接法（誤差只有約 \(R/r_V \approx 0.4\%\)），或至少換 500 mA 檔（\(r_A = 0.2\ \Omega\)）。
內接法：\(+r_A/R\)，5 mA 檔 +2.1%、50 mA 檔 +0.2%。外接法：約 \(-R/(R + r_V)\)，15 V 檔 −6.1%、3 V 檔 −24.5%。內接法明顯比較準。
令 \(r_A/R = R/(R + r_V)\)。當 \(R \ll r_V\) 時就是 \(r_A/R \approx R/r_V\)，也就是 \(R^{2} \approx r_A r_V\)。
不遵守：V/I 不是定值。每一點仍可定義 R = V/I，燈絲變熱時它由約 0.7 Ω 增加到約 8 Ω。
兩個都對。三用電表量的是冷燈絲（約 300 K）；2.5 V 時燈絲約 2400 K，鎢在這個溫度的電阻大約是室溫的 12 倍。
\(R_c \approx 2R_a\)：電阻與長度成正比。\(R_b \approx 4R_a\)：直徑減半、截面積變成 1/4，電阻與截面積成反比。合起來就是 \(R = \rho L/A\)。

觀察重點

預設狀態藏著誤差：銅線 b 用安培計內接法，量到約 13 Ω 而不是 11 Ω。改用外接法再記錄一次，圖上兩條直線的斜率明顯不同。
檔位會改變誤差：內接法時，500 mA 檔的 \(r_A\) 比 50 mA 檔小十倍，但每一小格也大十倍。精密度與準確度互相拉扯。
高電阻：用兩種接法量鎳鉻線 e，這次換成外接法誤差很大，尤其是 3 V 檔。
神秘電阻 X：先判斷用哪一種接法比較好再量，量完撕開膠帶，和色環的標示值比較（金色環代表 ±5%）。
燈泡：讓燈泡兩端電壓由 0.1 V 到 2.5 V 記錄十點，圖形彎曲，表中的 V/I 一直上升。再把電源調到 0 V，用三用電表量看看。
零點誤差：在「含誤差」模式下，不歸零就記錄一整組數據：數據點在原點附近對不上通過原點的直線，結果也偏掉了。歸零後再做一次比較看看。

模擬方法

整個電路（內電阻 0.5 Ω 的電源、電阻箱、毫安培計、待測元件與伏特計）以修正節點分析（克希何夫定律）精確求解；每一個電流與電壓，包括流過伏特計的微小電流與安培計兩端的電壓，都來自這個解。
導線：\(R = \rho L/A\)（20 °C），並假設溫度不變（真實的細導線在大電流下會稍微變熱）。碳膜電阻：標示 100 Ω ±5%，實際 98.6 Ω。神秘電阻：載入頁面時，由 E12 系列 47 Ω 到 680 Ω 之間隨機選一個標示值，實際值在標示值的 ±4% 以內。
燈泡：\(R = R_0 (T/300\,\mathrm{K})^{1.2}\)，\(R_0 = 0.687\ \Omega\)。穩定時電功率等於傳導與輻射散失的熱：\(I^{2}R = K_c (T - T_0) + K_r (T^{4} - T_0^{4})\)，常數使燈泡在 2.5 V 時電流為 0.30 A（燈絲 2400 K，15% 的熱由傳導散失）。把電路其餘部分化成戴維寧等效電路，從室溫開始讓燈絲升溫，找出到達的平衡溫度；超過 3200 K（約 5 V）燈絲燒斷。
電表：指針顯示流過毫安培計的真實電流、伏特計兩端的真實電壓，擺動略帶阻尼。「理想」的讀數就是指針的位置。「含誤差」：歸零前每根指針偏離 0 約 0.3–1 小格；每次讀數帶有隨機的估讀誤差（標準差 0.15 小格），並取到半小格。超過滿刻度時指針撞到底，無法讀數。
分析：通過原點的最佳直線 I = kV，使 I 的偏差平方和最小，R = 1/k。另外計算含截距的直線，檢查數據是否真的通過原點。
三用電表：3½ 位（最大顯示 1999）、自動換檔。含誤差時另有 ±(0.8% + 2 個字) 的誤差。

參考資料

課綱對應：選修物理Ⅴ・電路學。
20 °C 的電阻率：銅 1.7 × 10⁻⁸ Ω·m（OpenStax《University Physics》第二冊表 9.1 列 1.68 × 10⁻⁸ Ω·m）；鎳鉻合金依成分約 1.1–1.5 × 10⁻⁶ Ω·m，本模擬取 Serway《College Physics》表列的 1.5 × 10⁻⁶ Ω·m（整理見 The Physics Factbook：Resistivity of Nichrome）。
電源與電表的內電阻、碳膜電阻與神秘電阻、燈泡的燈絲模型，都是本模擬設定的教學用值（見「模擬方法」）。
延伸閱讀：OpenStax University Physics 第二冊 9.3 電阻率與電阻、9.4 歐姆定律（遵守與不遵守歐姆定律的元件，英文）。