彈簧振子與單擺

把木塊或擺錘拉開後放手，觀察 x–t、v–t、a–t 圖與動能、位能的交換；比較大角度單擺與小角度近似的差別。

播放速度

速度 v 加速度 a 平衡點 x = 0 與 ±A

左右拖曳木塊可設定釋放位置，放手後立刻開始振動。箭頭長度與 v、a 成正比（以本次最大值為滿格）。

x–t、v–t、a–t 圖

共用時間軸，比較各曲線在何時達到最大

背後的物理

彈簧振子

光滑水平面上，木塊在水平方向只受彈力（虎克定律）。以平衡位置為 \(x = 0\)，由牛頓第二定律：

\[ F = -kx = ma \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{k}{m}\,x = -\omega^{2} x, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

加速度與位移成正比、方向相反——這正是簡諧運動的定義。由 \(x = A\) 靜止釋放時：

\[ x = A\cos\omega t, \qquad v = -A\omega\sin\omega t = A\omega\cos\!\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right), \qquad a = -A\omega^{2}\cos\omega t \] \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

週期只和 \(m\)、\(k\) 有關，與振幅 \(A\) 無關。動能與彈性位能不斷互相轉換，總和保持不變：

\[ E = \tfrac12 m v^{2} + \tfrac12 k x^{2} = \tfrac12 k A^{2}, \qquad v_{\max} = A\omega, \qquad a_{\max} = A\omega^{2} \]

單擺

質量 \(m\) 的擺錘掛在長 \(L\) 的輕桿上，重力的切向分量 \(-mg\sin\theta\) 把它拉回最低點：

\[ mL\,\ddot\theta = -mg\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \ddot\theta = -\frac{g}{L}\sin\theta \]

這個方程式不是簡諧運動，因為回復項是 \(\sin\theta\) 而不是 \(\theta\)。只有在小角度時（\(\sin\theta \approx \theta\)，\(\theta\) 以弧度表示）才近似為簡諧運動：

\[ \ddot\theta \approx -\frac{g}{L}\,\theta, \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

任意釋放角 \(\theta_0\) 的精確週期可以寫成第一類完全橢圓積分 \(K\)，再用算術–幾何平均數（AGM）快速算出：

\[ T = 4\sqrt{\frac{L}{g}}\;K\!\left(\sin\frac{\theta_0}{2}\right) = \frac{T_0}{\operatorname{AGM}\!\left(1,\ \cos\frac{\theta_0}{2}\right)} \approx T_0\left(1 + \frac{\theta_0^{2}}{16} + \frac{11\,\theta_0^{4}}{3072} + \cdots\right) \]

AGM 的算法是反覆把 \(a\)、\(b\) 換成 \(\tfrac{a+b}{2}\) 與 \(\sqrt{ab}\)，直到兩數相等。\(\theta_0 = 10^\circ\) 時精確週期只比 \(T_0\) 長 0.19%；\(90^\circ\) 時長 18%；接近 \(180^\circ\) 時趨近無限大。

阻尼

加入阻力 \(-bv\) 後，振動會逐漸停止。以彈簧為例，令 \(\gamma = b/2m\)：

\[ m\ddot x = -kx - b\dot x, \qquad x = A e^{-\gamma t}\left(\cos\omega_d t + \frac{\gamma}{\omega_d}\sin\omega_d t\right), \qquad \omega_d = \sqrt{\omega^{2} - \gamma^{2}} \]

當 \(b\) 達到臨界值 \(b_c = 2\sqrt{mk}\) 時，木塊不再越過平衡點（臨界阻尼）；比它更大時回到平衡點反而更慢（過阻尼）。減少的力學能轉為熱能，\(\mathrm{d}E/\mathrm{d}t = -bv^{2}\)。

觀察重點

模擬方法