背後的物理
忽略空氣阻力時，物體只受重力，水平方向不受力（等速度運動），鉛直方向是加速度為 \(-g\) 的等加速度運動。兩個方向各自獨立：
\[ x = v_0\cos\theta\, t, \qquad y = h_0 + v_0\sin\theta\, t - \tfrac{1}{2} g t^{2} \]
\[ v_x = v_0\cos\theta, \qquad v_y = v_0\sin\theta - g t \]
消去時間 \(t\)，軌跡是一條開口向下的拋物線：
\[ y = h_0 + x\tan\theta - \frac{g\,x^{2}}{2 v_0^{2}\cos^{2}\theta} \]
從地面發射（\(h_0 = 0\)）時，飛行時間、最大高度與水平射程為：
\[ T = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}, \qquad H = \frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}, \qquad R = \frac{v_0^{2}\sin 2\theta}{g} \]
從高度 \(h_0\) 發射時，飛行時間是 \(h_0 + v_0\sin\theta\,t - \tfrac12 g t^2 = 0\) 的正根，射程最大的仰角 \(\theta^{*}\) 也有公式：
\[ T = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{v_0^{2}\sin^{2}\theta + 2 g h_0}}{g}, \qquad R = v_0\cos\theta\, T \]
\[ \tan\theta^{*} = \frac{v_0}{\sqrt{v_0^{2} + 2 g h_0}}, \qquad R_{\max} = \frac{v_0}{g}\sqrt{v_0^{2} + 2 g h_0} \]
加入空氣阻力時，阻力與速度反向、大小與速率平方成正比（\(k = \tfrac12 \rho C_D A\)），運動方程式沒有簡單的公式解，只能數值求解：
\[ \vec{a} = -g\,\hat{y} - \frac{k}{m}\,|\vec{v}|\,\vec{v}, \qquad v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}} \]
觀察重點
- 互補角射程相等：\(h_0 = 0\)、無阻力時，先用 \(30^\circ\) 發射，再改成 \(60^\circ\) 發射，兩次落點相同，因為 \(\sin 2\theta = \sin(180^\circ - 2\theta)\)。比較紀錄中的最大高度與飛行時間，哪一個比較大？
- 45° 射程最大：\(h_0 = 0\) 時 \(\sin 2\theta\) 在 \(\theta = 45^\circ\) 最大。把 \(h_0\) 調高，看看「射程最大的仰角」怎麼變？（會小於 \(45^\circ\)）
- 水平與鉛直運動互相獨立：打開等時距標記，相鄰標記的水平間距都相等（\(v_x\) 不變），鉛直間距則逐漸改變。速度分量 \(v_x\) 的箭頭長度始終不變。
- 水平拋射：把仰角調成 \(0^\circ\)、\(h_0 = 20\ \mathrm{m}\)，改變初速多發射幾次——落地時間都是 \(\sqrt{2h_0/g}\)，只有射程不同。
- 換一個星球：同樣的初速與仰角，在月球上射程與最大高度約是地球的 \(9.8/1.62 \approx 6\) 倍，因為 \(R\)、\(H\)、\(T\) 都與 \(g\) 成反比。
- 力學能守恆：無阻力時，\(\tfrac12 v^2 + g y\) 在整個飛行過程中保持不變；有阻力時則持續減少，減少的部分轉換為熱能。
- 空氣阻力的影響：射程與最大高度都變小，軌跡不再左右對稱——下降段比上升段陡、也比較久。這時射程最大的仰角會低於 \(45^\circ\)，阻力越大偏離越多。（月球沒有大氣，在月球上開啟阻力只是假想比較。）
模擬方法
- 無阻力時，飛行時間、射程、最大高度與最佳仰角直接用上面的公式計算（解析解）。
- 有阻力時，以四階 Runge–Kutta 法（RK4）積分運動方程式，時間步長取理想飛行時間的千分之一（介於 0.1 ms 到 10 ms）；最後一步再用二分法找出 \(y = 0\) 的精確落地時刻，最高點則找 \(v_y = 0\) 的時刻。
- 有阻力時，射程最大的仰角以黃金分割搜尋在 \(0^\circ\)～\(90^\circ\) 之間找出。
- 動畫使用同一套 RK4 積分器逐格推進；在等加速度的情況下 RK4 沒有截斷誤差，所以無阻力的動畫會準確落在解析解預測的位置，力學能也保持不變。
- 物體視為質點，不考慮旋轉（馬格努斯效應）與風；\(g\) 視為定值。
參考資料