背後的物理
不穩定的原子核會放出 α 粒子、β 粒子或 γ 射線，變成另一種原子核。衰變的時刻完全隨機：原子核沒有「記憶」，不論它已經存在多久，在很短的時間 \(\Delta t\) 內衰變的機率都一樣，而且與 \(\Delta t\) 成正比，比例常數就是衰變常數 \(\lambda\)：
\[ P(\text{decay in } \Delta t) \approx \lambda\,\Delta t, \qquad \Delta N = -\lambda N\,\Delta t \;\;\Rightarrow\;\; \frac{dN}{dt} = -\lambda N \]
解出來是指數衰減。每經過一個半衰期 \(T_{1/2}\)，剩下的數量減半：
\[ N(t) = N_0\, e^{-\lambda t} = N_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}, \qquad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda} \]
原子核平均能存在的時間稱為平均壽命 \(\tau\)；經過一個平均壽命，剩下 \(1/e \approx 36.8\%\)：
\[ \tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 1.44\,T_{1/2}, \qquad N(\tau) = \frac{N_0}{e} \]
活度 \(A\) 是每單位時間的衰變次數，也就是蓋革計數器數到的次數。它與剩下的原子核數成正比，所以也以同樣的半衰期衰減（SI 單位：貝克，\(1\ \mathrm{Bq} = \) 每秒 1 次衰變）：
\[ A = -\frac{dN}{dt} = \lambda N = A_0\, e^{-\lambda t} \]
隨機，卻可以預測
指數定律描述的是平均。在一次實驗中，每個原子核活過時間 \(t\) 的機率是 \(p = e^{-\lambda t}\)，剩下的數量服從二項分布。它的漲落只隨 \(\sqrt{N_0}\) 增加，所以相對漲落隨 \(1/\sqrt{N_0}\) 變小：100 個原子核會明顯在曲線附近亂跳，10 000 個則緊貼曲線。
\[ \overline{N} = N_0\, p, \qquad \sigma_N = \sqrt{N_0\, p\,(1-p)}, \qquad \frac{\sigma_N}{\overline{N}} \propto \frac{1}{\sqrt{N_0}} \]
取對數會得到直線 \(\ln N = \ln N_0 - \lambda t\)：在對數座標上斜率就是 \(-\lambda\)。模擬用這條直線擬合資料（每一點以 \(N\) 加權），估計半衰期。
衰變鏈
子核常常也有放射性：母核 \(P \xrightarrow{\lambda_1}\) 子核 \(D \xrightarrow{\lambda_2}\) 穩定核 \(S\)。子核一方面由母核產生，一方面自己衰變：
\[ \frac{dP}{dt} = -\lambda_1 P, \qquad \frac{dD}{dt} = \lambda_1 P - \lambda_2 D, \qquad P + D + S = N_0 \]
若一開始只有母核，解（Bateman 方程式）為
\[ D(t) = N_0\,\frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1}\left(e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}\right), \qquad t_{\max} = \frac{\ln(\lambda_2/\lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1} \]
子核先累積、在 \(t_{\max}\) 達到最多，然後逐漸消失。如果子核比較短命（\(\lambda_2 > \lambda_1\)），一段時間後它衰變的速率追上產生的速率，以固定比例跟著母核一起衰減——這就是暫態平衡；若 \(\lambda_2 \gg \lambda_1\)，兩者的活度相等（長期平衡）。（\(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\) 時，\(D = N_0 \lambda t\, e^{-\lambda t}\)。）
\[ \frac{D}{P} \to \frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1} = \frac{T'_{1/2}}{T_{1/2} - T'_{1/2}}, \qquad \frac{A_D}{A_P} \to \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} \]
醫院正是利用這個現象：鉬-99「發生器」（半衰期 66 小時）不斷產生醫學造影用的鎝-99m（半衰期 6.0 小時），每天沖洗取出一次。
骰子比喻
擲很多顆骰子，擲出 6 點的就拿走。每一擲平均拿走桌上的 1/6，所以擲 \(n\) 次後剩下
\[ N_n = N_0 \left(\tfrac{5}{6}\right)^{n}, \qquad n_{1/2} = \frac{\ln 2}{\ln(6/5)} \approx 3.80 \text{ rolls} \]
核種資料
- 碘-131：β− 衰變，\(T_{1/2} = 8.02\) 天 → 氙-131。用於治療甲狀腺疾病，也是核電事故的主要放射性物質之一。
- 碳-14：β− 衰變，\(T_{1/2} = 5730\) 年 → 氮-14。生物活著時體內碳-14 比例固定，死後開始衰減，可用來推算年代（碳十四定年）。
- 鈷-60：β− 衰變並放出 γ 射線，\(T_{1/2} = 5.27\) 年 → 鎳-60。用於放射治療與醫療器材滅菌。
- 氡-222：α 衰變，\(T_{1/2} = 3.82\) 天 → 釙-218。會從岩石滲入室內的放射性氣體（它的子核也有放射性，這裡只計算氡本身）。
- 鉬-99 → 鎝-99m：半衰期分別為 \(65.94\) 小時與 \(6.01\) 小時。鎝-99m 衰變成鎝-99，鎝-99 的半衰期約 21 萬年，這裡視為穩定核。
觀察重點
- 樣本大小：用 100 個原子核跑幾輪（按「新的一輪」），再用 10 000 個跑。100 個的舊曲線散得很開，10 000 個的幾乎都落在理論曲線上。
- 半衰期與剩下多少無關：從 1 到 1/2、從 1/2 到 1/4、從 1/4 到 1/8，每一段都花一個半衰期。打開半衰期標記比對看看。
- 對數座標：曲線變成直線；直到只剩下少數幾個原子核時才變得參差不齊。
- 聽聲音：打開音效，每一次衰變就是一聲「喀」。聲音的間隔是隨機的，從不規律；樣本越衰變，聲音越稀疏。
- 真實核種：碘-131 和碳-14 在圖上的行為一模一樣，只是時間尺度相差約 26 萬倍。
- 衰變鏈：選鉬-99 → 鎝-99m。子核（紫色）先累積、達到最多，然後與母核同步衰減；在對數座標上兩條線變成平行（暫態平衡）。
- 長命的子核：在自訂的衰變鏈中，讓子核的半衰期比母核長：沒有平衡，子核會比母核活得更久。
- 骰子：擲 10 000 顆骰子，平均約 3.8 擲後剩下一半，雖然沒有一顆骰子「知道」自己在桌上待了多久。
模擬方法
- 每個原子核都個別模擬。在每一個長度為 \(\Delta t\) 的動畫步驟中，未衰變的原子核以精確的機率 \(1 - e^{-\lambda \Delta t}\) 衰變（不是近似的 \(\lambda\Delta t\)），所以不論步長多大，統計性質都與連續時間的指數衰變完全相同——兩個半步等於一個整步。
- 衰變鏈的每一步也使用精確的轉移機率（包括同一步內母核變成子核、子核又再衰變的情形），平均起來正好是 Bateman 解，而且每一步都保持 \(P + D + S = N_0\)。
- 亂數由可設定種子的產生器產生（每一輪換一個新種子），物理核心因此能用可重現的結果做測試。
- 真實核種的半衰期經過縮放：在 1× 速度下，母核一個半衰期相當於動畫 4 秒，讀數顯示真實的時間。自訂核種在 1× 速度下，模擬的 1 秒就是真實的 1 秒。
- 開啟音效時，每次衰變在它自己的隨機時刻發出一聲。衰變太頻繁、聽不出個別聲音時，會隨機抽出一部分播放（狀態列會說明比例），聲音仍然保持隨機。