光線（亮度隨光強）
法線
入射角、反射角
折射角
臨界角 θc
在界面上方任意處（或直接拖曳雷射）即可改變入射角；用鍵盤時點一下畫面，再按方向鍵（按住 Shift 轉得多）。光線的亮度與粗細依菲涅耳方程式計算的光強（以平方根壓縮，弱光也看得到）；角度依實際比例繪製。
示意圖（波長已放大）：亮線是波峰。頻率不變，所以在光密介質中波速較慢、波長 λ = λ0/n 較短，波前因此轉彎；畫面上波峰移動的快慢依 v = c/n 的真實比例。
在光纖左側拖曳可改變射入角度。這是平面（二維）光纖：纖芯的折射率比包層大，光在側面的入射角超過臨界角時就一再全反射；移動的亮點是一個光脈衝，在纖芯中較慢（v = c/n）。
反射率 R（非偏振光）
穿透率 T = 1 − R
Rs（s 偏振）
Rp（p 偏振）
目前角度
背後的物理
光在介質中比在真空中慢。折射率 \(n\) 定義為真空中光速 \(c\) 與介質中光速 \(v\) 的比值。光進入另一種介質時頻率 \(f\) 不變，所以波長與波速等比例改變：
\[ n = \frac{c}{v}, \qquad \lambda_n = \frac{v}{f} = \frac{\lambda_0}{n} \]
在界面上，入射光、反射光、折射光與法線在同一平面上；反射角等於入射角，折射角遵守司乃耳定律（角度都由法線量起）：
\[ \theta_1' = \theta_1, \qquad n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \]
光由光密介質射向光疏介質（\(n_1 > n_2\)）時，入射角增大到臨界角 \(\theta_c\) 時折射角達到 \(90^\circ\)；入射角再大就沒有折射光，光全部反射，稱為全反射：
\[ \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \quad (n_1 > n_2) \]
反射光有多少，由菲涅耳方程式決定。電場垂直入射面（s 偏振）與平行入射面（p 偏振）的光反射率不同，一般（非偏振）的光取兩者平均：
\[ r_s = \frac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2}, \qquad r_p = \frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2} \]
\[ R = \frac{r_s^{2} + r_p^{2}}{2}, \qquad T = 1 - R \]
垂直入射時兩種偏振相同；在布魯斯特角，p 偏振光完全不反射（此時反射光與折射光互相垂直）：
\[ R_{(\theta_1 = 0)} = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^{2}, \qquad \tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} \]
光纖靠全反射導光。光從空氣射入端面時，射入角必須小於最大接收角 \(\theta_a\) 才會被導引；\(\sin\theta_a\) 稱為數值孔徑 NA：
\[ \mathrm{NA} = \sin\theta_a = \sqrt{n_\text{core}^{2} - n_\text{clad}^{2}} \]
觀察重點
- 進入光密介質偏向法線：上方空氣、下方玻璃時，折射光總是比入射光更靠近法線（\(\theta_2 < \theta_1\)），因為光在玻璃中較慢；把上下介質對調，折射光就偏離法線。
- 全反射只發生在由光密到光疏：上方玻璃、下方空氣，逐漸加大 \(\theta_1\)：折射光越來越暗、越來越貼近界面，到 \(\theta_c \approx 41.8^\circ\) 時消失，\(R\) 變成 \(100\%\)。上方是空氣時，任何角度都不會全反射。
- 鑽石為什麼閃亮：鑽石到空氣的臨界角只有約 \(24.4^\circ\)，切割好的鑽石內部大部分的光會全反射好幾次才從頂面射出，所以特別亮、光芒四射。和水到空氣（\(\theta_c \approx 48.8^\circ\)）比較看看。
- 玻璃窗反射約 4%：光垂直射到玻璃時 \(R = (0.5/2.5)^2 = 4\%\)。看下方的圖：入射角到 \(50^\circ\) 左右 \(R\) 都很小，接近掠射時迅速升到 \(100\%\)，所以湖面能清楚倒映遠處的景物。
- 布魯斯特角：按「布魯斯特角」並打開 s、p 偏振曲線，\(R_p\) 降到 0，反射光完全是 s 偏振；偏光太陽眼鏡就是擋掉這種眩光。
- 光路可逆：記下 \(\theta_2\)，把上下介質對調，再把入射角設為剛才的 \(\theta_2\)，新的折射角就是原來的 \(\theta_1\)，反射率也相同。
- 波前：切換到波前圖，光密介質中的波峰較密（\(\lambda = \lambda_0/n\)）、前進較慢；同一道波前先進入的部分先變慢，整個波前就轉了方向——這就是光會偏折的原因。全反射時，界面另一側只有一層很薄、不帶走能量的漸逝波。
- 光纖：在光纖模式把射入角調到超過最大接收角，側面入射角 \(\varphi\) 會小於 \(\theta_c\)，每次反射都有光漏出，抵達末端的功率迅速下降。實際的光纖是在折射率稍大的纖芯（\(n \approx 1.48\)）外面包一層玻璃包層（\(n \approx 1.46\)）。
模擬方法
- 角度由司乃耳定律計算，光強由非磁性介質的菲涅耳方程式計算；穿透率 \(T\) 由穿透係數獨立算出（不是用 \(1 - R\)），單元測試檢查每個角度都有 \(R + T = 1\)。
- 光線亮度與粗細隨光強的平方根變化，讓 4% 的反射光也看得到；標示的百分比是精確值。角度、法線與臨界角的線都依實際比例繪製。
- 波前圖是示意圖：波長放大了數萬倍，但兩種介質中波長與波速的比例正確，波峰在界面上連續。漸逝波依相同放大比例，以正確的穿透深度 \(\delta = \lambda_0 / \big(4\pi\sqrt{n_1^{2}\sin^{2}\theta_1 - n_2^{2}}\big)\) 衰減。
- 光纖以平面（二維）平板波導、幾何光學處理：s、p 偏振的功率分開追蹤，每次反射分別乘上 Rs、Rp；漏出的光依漏出的功率決定亮度。忽略玻璃本身的吸收。
- 忽略色散（n 隨波長改變），介質視為透明、非磁性。
參考資料