水面
微調
空氣的位移振幅
波節
波腹
橡皮筋（已記錄）
理論曲線
高度依比例（管長 100 cm，刻度 0 在管口）；管子與蓄水桶的寬度放大了。管內空氣沿著管子上下振動（縱波），彩色帶表示每一層空氣振動的幅度，為了看得見畫成橫向。小點是放慢的空氣層。拖曳蓄水桶（或按按鈕）移動水面；右側曲線是你掃描過的「響度對水面位置」。
3D 檢視：有刻度的玻璃管、水、橡皮筋與音叉。管內的細圓環是上下振動的空氣層（慢動作），半透明的形狀表示位移振幅。拖曳可旋轉、兩指或滾輪可縮放；水面與音叉一樣用按鈕和滑桿操作。
實驗目的
- 觀察空氣柱的共鳴與駐波的關係：只有管內剛好能形成駐波時，空氣柱才會大聲共鳴。
- 用頻率已知的聲音（音叉或手機 App）測量空氣中的聲速，並與室溫下的理論值比較。
實驗器材
- 玻璃管（附公分刻度，管口為 0）
- 鐵架與夾具
- 蓄水桶與橡皮管（連通管）
- 數支不同頻率的音叉、橡皮槌
- 橡皮筋數條（標記水面位置）
- 溫度計
- （可選）手機：發聲或測分貝的 App
原理
音叉把聲波送進管內，聲波在水面反射回來，到了管口又反射回去，如此來回。貼著水面的空氣不能上下移動，所以水面是位移的波節；管口的空氣可以自由進出，那裡是位移的波腹。一端是波節、一端是波腹的駐波，只有在氣柱長度剛好是四分之一波長的奇數倍時才放得進去。這時每一次反射回來的波都和音叉同步，振動越疊越大，空氣柱就大聲響起——這就是共鳴。
實際上開口端的波腹不在管口，而是在管口外一小段距離 \(e\)，稱為管口修正。管壁很薄的圓管，理論上 \(e \approx 0.6\,r\)（\(r\) 為管的內半徑）。若 \(L\) 是管口到水面的距離：
\[ L_n + e = (2n - 1)\,\frac{\lambda}{4} \] \[ n = 1, 2, 3, \dots \]
管口修正不容易直接量，但兩個相鄰的共鳴位置相減時它就消失了：相鄰共鳴點永遠相距半個波長。
\[ L_{n+1} - L_n = \frac{\lambda}{2} \] \[ v = f\lambda = 2f\,(L_2 - L_1) \] \[ e = \frac{\lambda}{4} - L_1 \]
有三個以上的共鳴點時，畫 \(L_n\) 對 \(n\) 的圖：各點落在直線 \(L_n = \tfrac{\lambda}{2}\,n - \left(\tfrac{\lambda}{4} + e\right)\) 上，斜率是 \(\lambda/2\)，截距是 \(-(\lambda/4 + e)\)。若只用第一個共鳴點、忽略 \(e\)，以 \(v = 4fL_1\) 計算，得到的聲速一定偏小。
聲速與溫度
溫度越高，聲音傳得越快。理想氣體的聲速與絕對溫度的平方根成正比，所以（\(T\) 用 °C）
\[ v = 331.3\sqrt{1 + \frac{T}{273.15}}\ \mathrm{m/s} \] \[ \approx (331 + 0.6\,T)\ \mathrm{m/s} \]
課本用的直線近似式，在 0 °C 到 40 °C 之間和平方根公式相差不到 0.3%。室溫較高時，同一支音叉的波長較長，所有共鳴位置都往下移（離管口更遠）。
實驗步驟
- 先在玻璃管上套幾條橡皮筋，之後用來標記共鳴時的水面。
- 由蓄水桶把水灌進管內，再把蓄水桶慢慢拉高，讓管內水面接近管口（連通管的兩邊水面一樣高）。
- 讀溫度計、記下音叉上標示的頻率。用橡皮槌敲音叉，拿到管口上方 1–2 cm，讓叉臂的振動方向與管子平行；不要讓音叉碰到玻璃管。
- 慢慢降低蓄水桶。聲音變得最響時，讓水面上下微調，找出最響的位置（可以用手機的分貝計 App 幫忙），套上橡皮筋做記號。
- 繼續降低水面，找出下一個、再下一個共鳴位置，直到水面不能再降。量出每條橡皮筋到管口的距離。
- 相鄰兩記號距離的兩倍就是波長，聲速 v = fλ；再與由室溫算出的理論值比較。
- 換不同頻率的音叉，重複以上步驟。
注意事項
- 空氣中的聲波是縱波，叉臂的振動方向要和管子的軸平行；靠近管口，但絕不能碰到玻璃。
- 在共鳴點附近要慢慢移動水面：響的範圍只有大約 1 cm 寬，很容易一下子就錯過。
- 讀刻度時，視線要和凹液面的底部同高，避免視差。
- 音叉的聲音幾秒內就會變小：比較響度前要重新敲，而且每次力道差不多。
- 要用實驗當時的室溫；溫度差 1 °C，聲速大約差 0.6 m/s。
問題與討論
- 為什麼 \(v = 2f(L_2 - L_1)\) 比 \(v = 4fL_1\) 準確？
- 如果室溫升高，共鳴位置會往上移還是往下移？為什麼？
- 換成頻率加倍的音叉，共鳴點的間距怎麼變？同一支管子可以找到比較多還是比較少個共鳴點？
- 水面最低只能降到距管口 98 cm。頻率最低多少的音叉，還找得到共鳴？
- 為什麼叉臂的振動方向要和管子平行，而不是垂直？
看參考答案
- 兩個共鳴位置相減時管口修正 \(e\) 抵消；\(4fL_1\) 少算了 \(e\)，結果偏小 \(4fe\)。
- 往下移（離管口更遠）。聲速變大，波長 \(\lambda = v/f\) 變長，每個 \(L_n = (2n-1)\lambda/4 - e\) 都變大。
- 間距 λ/2 變成一半，同一支管子大約可以找到兩倍多的共鳴點。
- 第一個共鳴要 \(\lambda/4 \le L_{\max} + e\)，所以 \(f \ge v/[4(L_{\max} + e)]\)，25 °C 時大約 87 Hz。
- 管內的空氣只能沿著管子被推動；叉臂沿管軸振動時，直接推拉空氣柱，驅動的效果最好。
觀察重點
- 用耳朵找第一個共鳴：打開音效、敲音叉，由上往下慢慢拖曳蓄水桶。響度會在很窄的範圍內突然變大，右側的掃描曲線出現一個尖峰。
- 水面是波節、波腹在管口外：共鳴時，彩色帶在水面寬度為零，最寬的地方在管口上方一點點——那段距離就是 \(e\)。
- 越深的共鳴越弱、越寬：氣柱越長，聲波來回時損失的能量越多。
- 粗管與細管：同一支音叉在內徑 1.6 cm 與 5.0 cm 的管子各量一次：間距不變，但粗管的共鳴位置比較靠近管口，差距就是兩者管口修正的差。
- 冷天與熱天：把室溫由 10 °C 改成 35 °C，看共鳴位置往下移。
模擬方法
- 聲速：\(v = 331.3\sqrt{1 + T/273.15}\) m/s（乾燥空氣）。管口修正：\(e = 0.6133\,r\)，這是無凸緣開口圓管的低頻理論值（Levine 與 Schwinger）。共鳴條件：\(L_n + e = (2n-1)\lambda/4\)。
- 響度：音叉送進的聲波在水面（剛性端）與管口之間來回反射，每往返一次多走 \(2(L+e)\)，振幅保留 \(\rho\) 倍。把所有反射波相加，得到放大倍數 \(G = 1/\lvert 1 + \rho\,e^{-i\,2k(L+e)}\rvert\)；響度計顯示的是相對響度 \(20\log_{10} G\)（dB）。\(\rho = 0.95 \times e^{-(kr)^2/2} \times e^{-2\alpha L}\)：分別是管口的輻射損失、管壁的阻尼（\(\alpha = 3\times10^{-5}\sqrt{f}/r\)，單位 1/m），以及其他損耗（水面晃動、管壁不平、接頭等）合併的 0.95；這個值讓共鳴寬度接近學校實際的儀器。
- 彩色帶是駐波的振幅 \(\propto G\,\lvert\sin ky\rvert\)（\(y\) 為水面以上的高度），畫成理想的駐波。小點是以此振幅上下振動的空氣層，放慢成大約每秒振動一次，振幅也放大很多。
- 敲擊後的音叉振幅以 10 s 的時間常數衰減，低於起始振幅約 8% 時響度計不再讀數。手機 App 則持續發出穩定的聲音。
- 讀數取到 1 mm。「含誤差」時，每筆讀數另加隨機誤差（標準差 1 mm，來自凹液面與視差），響度計也會像在教室中一樣跳動約 ±1 dB。
- 分析：相距 4 cm 以內的讀數平均成一個共鳴點；每個共鳴點是第幾次共鳴，由位置本身推定（應該接近 (n − ½)·λ/2）；再用最小平方法擬合直線 L = (λ/2)n − (λ/4 + e)，求出 λ 與 e。神秘音叉的頻率在 300 到 900 Hz 之間隨機選定，載入頁面或按「全部清除」時重新選。
- 3D 檢視：畫面與 2D 使用相同的物理計算（管子、水面、橡皮筋與位移振幅）。高度依真實比例，管徑放大 3 倍示意，才看得見管內的空氣層。使用 three.js 函式庫（MIT 授權），只有切換到 3D 時才會下載。
參考資料