實驗說明
實驗目的
- 看直線波前與圓形波前遇到直條、凹弧、凸弧障礙物時怎麼反射。
- 看波前從深水進入淺水時怎麼偏折（折射），並和波速、波長的改變連起來。
- 看水波繞過短障礙物、穿過狹縫後向外散開（繞射），以及散開的程度和波長、縫寬的關係。
- 看兩個同相點波源的干涉圖樣，找出節線與腹線上的波程差。
實驗器材
| 玻璃底的水波槽（有腳架與調水平螺絲） | 水槽下方的白紙 |
| 直線起波器；兩個圓形起波器（點波源） | 電源供應器（可變電阻調頻率） |
| 閃頻儀與光源（或一般強光源） | 貼在槽壁的海綿條 |
| 壓克力塊（厚的當障礙物、薄的造出淺水區） | 圓弧形與長條形障礙物、水平儀、直尺 |
原理
為什麼有亮紋與暗紋？起伏的水面像一大片小透鏡：波峰向上凸，把光會聚到白紙上（亮紋）；波谷把光散開（暗紋）。光線被水面的斜率偏折後再走 \(d\) 到白紙，由光的能量守恆可得
\[ I \approx \frac{I_0}{1 + \kappa\,\nabla^{2}u}, \qquad \kappa = d\left(1 - \frac{1}{n}\right) \]
\(u\) 是水面高度、\(n = 1.33\) 是水的折射率；波峰處 \(\nabla^2 u < 0\)，所以 \(I > I_0\)。燈若是在水面上方高度 \(L\) 處的小燈泡（點光源），白紙上的影像是水面放大
\[ M = \frac{L + d}{L} \]
倍的相似形：所有長度（包括亮紋的間距）都是實際的 \(M\) 倍，角度則不變。只有平行光時 \(M = 1\)。
波速與水深。起波器決定頻率 \(f\)，波速 \(v = f\lambda\) 則由水深 \(h\) 決定。水波的回復力來自重力與表面張力 \(\sigma\)：
\[ \omega^{2} = \left(g k + \frac{\sigma k^{3}}{\rho}\right)\tanh(k h), \qquad \omega = 2\pi f,\quad k = \frac{2\pi}{\lambda} \]
水愈淺 \(\tanh(kh)\) 愈小，同樣的 \(f\) 之下波速愈慢、波長愈短；水很淺、波長很長時化簡為 \(v \approx \sqrt{g h}\)。
反射。入射角 \(\theta_i\) 是入射波前與障礙物的夾角（等於射線與法線的夾角），反射波前與障礙物的夾角相同：\(\theta_r = \theta_i\)。半徑 \(R\) 的凹弧把直線波會聚在焦點 \(F \approx R/2\) 附近；凸弧使波散開，好像從障礙物後方的一點發出。圓形波遇到直條障礙物反射後，好像從障礙物後方的「像」波源發出。
折射。波進入淺水區時頻率不變，波速變慢、波長變短，波前因此偏折、射線偏向法線：
\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \]
繞射。水波通過寬 \(a\) 的狹縫後會散進幾何陰影區。\(\lambda\) 與 \(a\) 差不多或更大時繞射很明顯；兩側第一條暗線（節線）的方向約在 \(a\sin\theta = \lambda\)。短障礙物後方的波，走一段距離就又合攏起來。
干涉。兩個同相波源 \(S_1\)、\(S_2\) 相距 \(d\)。在 \(P\) 點，波程差 \(\Delta = |PS_1 - PS_2|\) 決定兩波相加的結果：
\[ \text{nodal line: } \Delta = \left(n - \tfrac12\right)\lambda, \qquad \text{antinodal line: } \Delta = n\lambda, \qquad N_{\text{nodal}} = 2\left\lfloor \frac{d}{\lambda} + \frac12 \right\rfloor \]
節線（nodal line）是水面幾乎不動的雙曲線（白紙上灰灰的），腹線（antinodal line）上亮暗紋最明顯。
閃頻儀。每秒閃 \(f_s\) 次的燈只讓我們在閃光的瞬間看到水面。\(f_s = f\)（或 \(f/2, f/3, \ldots\)）時每次閃光看到的波都在同一位置，條紋看起來靜止；\(f_s\) 稍微不同時，條紋會慢慢移動。調到靜止，也是精確量出 \(f\) 的方法。
實驗步驟
- 架設與波長：先用水平儀把槽底調水平（選「含誤差」可以練習），槽壁放海綿，開直線起波器，再開閃頻儀並調 \(f_s\) 讓條紋靜止。用直尺跨過好幾條亮紋，記錄紙上的長度與跨過的波長數，算出 \(\lambda\) 與 \(v = f\lambda\)。
- 反射：把直條障礙物斜放。直尺沿著入射波前擺放，記錄 \(\theta_i\)；再沿著反射波前擺放，記錄 \(\theta_r\)。換至少三個角度重做。再換凹弧、凸弧與單點起波器觀察。
- 折射：把薄壓克力板放在槽底，板上仍有薄薄一層水。先讓板邊和起波器平行，比較深水的 \(\lambda_1\) 與淺水的 \(\lambda_2\)；再把板轉斜，記錄好幾組 \(\theta_1\)、\(\theta_2\)。
- 繞射：觀察短障礙物後方，改變障礙物長度。再做出狹縫，改變縫寬 \(a\) 與頻率，記錄 \(a\)、\(\lambda\) 與中央亮帶旁第一條暗線的方向 \(\theta\)。
- 干涉：換成兩個點波源。先記錄 \(\lambda\)，再把探針 \(P\) 放在節線、腹線上記錄 \(PS_1\)、\(PS_2\)。改變 \(f\) 與 \(d\)，重新數節線。
注意事項
- 槽底一定要水平，各處水深（也就是波速）才相同；傾斜的水槽本身就會讓波前彎曲。
- 障礙物要高出水面；薄壓克力板則要剛好被水蓋住，否則波會漫過障礙物，或在板上破碎。
- 海綿會吸收傳到槽壁的波；拿掉海綿，反射波會讓圖樣變得很亂。
- 量波長要跨過很多個波長再除，不要只量一個；而且除非是平行光，白紙上的影像是放大的。
- 起波器的旋鈕刻度只是大約；讓條紋靜止的閃頻頻率才可靠。
問題與討論
- 為什麼波峰在白紙上是亮的、波谷是暗的？把白紙放得更低，亮暗的對比會怎樣？
- 燈在水面上方 60 cm 時，白紙上相鄰亮紋的間距等於水波的波長嗎？要怎麼修正？
- 折射實驗中，板邊兩側哪些量改變了——頻率、波速、波長？用你的數據檢查 \(\sin\theta_1/\sin\theta_2\) 是否等於 \(\lambda_1/\lambda_2\)。
- 狹縫稍微太寬、繞射不明顯，而且不能改變縫寬與水深，還可以調整什麼？
- 兩波源相距 5 cm，頻率 8 Hz 與 15 Hz 時各預期有幾條節線？數數看。
- 同一塊壓克力板，為什麼低頻時折射比高頻時明顯？
觀察重點
- 打開閃頻儀，慢慢把 fs 調向 f：條紋先慢慢爬、愈來愈慢，最後停住。再試試 f/2。
- 拿掉海綿，看看波在水槽裡來回反射的樣子。
- 用單點起波器與直條障礙物找出「像」：反射的圓形波，圓心在障礙物後方。
- 把單點起波器放在凹弧的焦點，看看反射回來的波是什麼形狀。
- 把狹縫調得比波長還窄——穿過的波幾乎變成半圓形。
模擬方法
- 水面高度滿足線性波動方程式 \(\partial_t^2 u + \sigma_d\,\partial_t u = \nabla\cdot(c^2\nabla u)\)，在正方形方格上用有限差分與蛙跳法求解。每一格的波速 \(c\) 取該處水深、起波器頻率下由上面色散關係算出的相速度，所以反射、折射、繞射、干涉都是方程式自己算出來的。
- 方格大小隨最短波長自動調整（每個波長約 12 格，較慢的裝置會少一些），每一格的波速也扣除了方格本身的數值色散，模擬出的波長與公式相差不到 1%；一個週期剛好是整數個時間步長。
- 障礙物是固體格子，面上沒有水流通過（完全反射）。海綿是 3 cm 寬的「完美匹配層」：只吸收朝槽壁前進的那部分運動（5–20 Hz 反射不到 1%），沿著槽壁前進的波不受影響，所以直線波一直到海綿邊都是直的。阻尼包含水的黏滯與槽底摩擦。
- 白紙上的影像由水面的曲率用上面的 I 公式算出；點光源時整張影像形狀相同、放大 M 倍（直尺量到的是紙上的長度）。
- 3D 檢視：同一個方格畫成有光影的水面，波高放大 30 倍（真實的水波只有約 0.1 mm 高）；下方的白紙顯示同一張投影影像，並放大 M 倍。
- 「含誤差」加入真實實驗的困難：沒調好就不水平的水槽、差了幾個百分比的起波器旋鈕刻度、只讀到 1 mm 與 1° 的讀數，以及（選點光源時）白紙影像的放大。
參考資料