背後的物理
兩道反射光與半波損失
光照到薄膜時，一部分在上表面反射，一部分進入膜內在下表面反射。兩道反射光來自同一道入射光，彼此同調而互相干涉。光（接近）垂直入射時，界面的振幅反射係數為菲涅耳係數
\[ r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \]
光由低折射率射向高折射率（\(n_1 < n_2\)）時 \(r\) 為負值：反射波上下顛倒，相位改變 \(\pi\)，相當於多走了半個波長，稱為半波損失；由高折射率射向低折射率的反射沒有相位改變。
在厚度 \(d\)、折射率 \(n\) 的膜內，第二道光多走的光程差為（\(\theta_t\) 為膜內的折射角，從空氣射入時 \(\sin\theta_1 = n\sin\theta_t\)）
\[ \Delta = 2 n d \cos\theta_t \]
空氣中的肥皂膜、空氣劈與牛頓環的空氣間隙，兩道反射光之中恰好一道有半波損失，所以反射光的條件為
\[ \text{亮紋：}\ 2nd\cos\theta_t = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda, \qquad \text{暗紋：}\ 2nd\cos\theta_t = m\lambda, \qquad m = 0, 1, 2, \ldots \]
為什麼肥皂膜最薄的地方是黑的：厚度 \(d \to 0\) 時光程差趨近 0，但兩道光一道有半波損失、一道沒有，對所有波長都互相抵消。只有幾十奈米厚的膜（黑膜）幾乎不反射光，在暗背景前看起來是黑色的，那也是肥皂膜快要破掉的時候。
如果兩道反射都有（或都沒有）半波損失，例如玻璃上的氟化鎂增透膜（\(1 < 1.38 < 1.52\)），亮暗條件就對調：四分之一波長厚的膜讓反射光互相抵消。
空氣劈
兩片平板玻璃一端接觸、在距離 \(L\) 處夾一根直徑 \(D\) 的細線。間隙隨位置線性增加，\(t = x\tan\theta \approx xD/L\)，等厚的位置是直線，暗紋等間距：
\[ 2 n t_m = m\lambda \;\Rightarrow\; x_m = \frac{m\lambda L}{2nD}, \qquad \Delta x = \frac{\lambda}{2n\theta} = \frac{\lambda L}{2nD}, \qquad D = \frac{\lambda L}{2n\,\Delta x} \]
接觸線（\(t = 0\)）是暗紋；從接觸線到細線共有 \(\lfloor 2nD/\lambda \rfloor + 1\) 條暗紋。楔中充水（\(n = 1.33\)）時，條紋間距縮小為原來的 1/1.33。
牛頓環
曲率半徑 \(R\) 的平凸透鏡放在平板玻璃上，離接觸點 \(r\) 處的間隙 \(t = R - \sqrt{R^{2} - r^{2}} \approx r^{2}/2R\)，等厚的位置是同心圓。反射光的中心是暗點，第 \(m\) 個暗環的半徑
\[ r_m = \sqrt{\frac{m\lambda R}{n}}, \qquad r_m^{2} = \frac{\lambda R}{n}\, m \]
所以 \(r^{2}\) 對 \(m\) 的圖是斜率 \(\lambda R/n\) 的直線：已知 \(\lambda\) 可求 \(R\)，已知 \(R\) 可求 \(\lambda\)。如果透鏡下有灰塵把透鏡抬高 \(e\)，則 \(r_m^{2} = (m\lambda/n - 2e)R\)：中心不一定是暗點，直線整條往下移，但斜率不變，這就是實驗要用 \(r_m^{2} - r_k^{2} = (m - k)\lambda R/n\)，而不只量一個環的原因。
透射光與反射光互補：沒有吸收時 \(T = 1 - R\)，所以透射光的中心是亮點，反射的暗環變成亮環。由於每個界面只反射約 4% 的光，透射光的明暗對比很低。
多次反射與白光
光會在膜內來回反射很多次，把所有反射光加起來，得到艾里公式（\(\delta = 4\pi n d\cos\theta_t/\lambda\)）：
\[ r = \frac{r_{12} + r_{23}\,e^{i\delta}}{1 + r_{12}r_{23}\,e^{i\delta}}, \qquad R = |r|^{2}, \qquad R + T = 1 \]
因為 \(|r| \approx 0.14\)–\(0.21\) 很小，第三道以後的光很弱，雙光束的結果幾乎一樣；若把兩道光當成振幅相等，可化簡成 \(R \approx 4r^{2}\sin^{2}(\delta/2)\)。
白光照射時，每種波長各自形成條紋。每個厚度強烈反射某些波長、抵消另一些波長，眼睛看到的是這個反射光譜的顏色：
\[ X = \frac{\sum_{\lambda} S(\lambda)R(\lambda)\bar{x}(\lambda)}{\sum_{\lambda} S(\lambda)\bar{y}(\lambda)},\quad Y = \frac{\sum_{\lambda} S(\lambda)R(\lambda)\bar{y}(\lambda)}{\sum_{\lambda} S(\lambda)\bar{y}(\lambda)},\quad Z = \frac{\sum_{\lambda} S(\lambda)R(\lambda)\bar{z}(\lambda)}{\sum_{\lambda} S(\lambda)\bar{y}(\lambda)} \]
薄的地方是鮮豔的低級數顏色（黑、銀白、黃、紅、紫、藍、綠……）；膜很厚時，相鄰波長的亮暗互相錯開而平均掉，顏色就淡成白色。
觀察重點
- 頂端的黑膜：按「排液」，看彩色條紋隨著膜變薄往下移、變寬，頂端的黑色區域越來越大。
- 單色光與白光：鈉黃光下肥皂膜是一條條黃黑相間的條紋；換成白光，同一片膜變成一連串顏色。看下方的反射光譜，找出哪些波長被抵消了。
- 斜著看：觀看角度變大時 \(\cos\theta_t\) 變小，每種顏色都移到膜更厚的地方。
- 量細線：在空氣劈中記錄幾條暗紋的位置，\(x\) 對編號 \(k\) 的斜率就是 \(\Delta x\)，再由 \(D = \lambda L/(2n\Delta x)\) 求出細線直徑。
- 充水：空氣劈或牛頓環的間隙充水後條紋變密，因為水中的波長變成 \(\lambda/n\)。
- 抬高透鏡：慢慢加大中心間隙 \(e\)，圓環一圈一圈縮進中心消失；每抬高 \(\lambda/2n\) 就吞掉一個環。
模擬方法
- 反射率與透射率用 s、p 兩種偏振的菲涅耳係數在實際角度計算（空氣劈與牛頓環為正入射），自然光取兩者的平均；多光束用精確的艾里公式，測試檢查 \(R + T = 1\)，並與逐道相加的反射光比對。
- 折射率：空氣取 1（實際 1.0003）、肥皂水 1.33（可調）、玻璃 1.52，忽略色散與吸收。空氣劈與牛頓環只計算兩片玻璃之間的薄間隙；厚玻璃外側表面的反射與它不同調，不列入計算。
- 顏色：CIE 1931 2° 配色函數與 CIE 標準光源 D65 都取自 CIE 官方資料表（CIE 015:2018），380–780 nm 每 5 nm 一點，線性內插到每 1 nm 積分；XYZ 轉成 sRGB（IEC 61966-2-1），超出 sRGB 色域的顏色往同亮度的灰色降低飽和度。為了速度，白光的顏色預先算好每 2 nm 厚度一格；光程差超過 16 μm 時顏色已淡成不同調相加的平均值，直接用該值。
- 曝光：肥皂膜最多只反射約 8% 的光，畫面亮度取 \(R/R_{\max}\)（\(R_{\max}\) 為這片膜最亮的反射），就像相機自動曝光，不改變顏色的色相與飽和度。
- 肥皂膜以楔形 \(h = h_{\text{底}}\cdot z/H\) 表示；排液依重力排液的 \(t^{-1/2}\) 規律 \(h_{\text{底}}(t) = h_0/\sqrt{1 + t/\tau}\)，\(\tau = 0.6\ \text{s}\) 只為了方便觀看。真實的膜還有渦旋與框邊較厚的液膜，這裡沒有畫出。
- 側視圖是示意圖，間隙與角度都大幅放大。條紋比一個像素還細時，每個像素顯示其範圍內的平均，與不用放大鏡時眼睛或相機看到的一樣。
參考資料