力矩與靜力平衡

把砝碼、磚塊和人放上蹺蹺板，看每個力的力臂與力矩、淨力矩、支點的力與重心；放開木板，它會依 Iα = Στ 轉動。再讓梯子靠在牆上，找出不會滑倒需要多少摩擦力，以及為什麼人爬得越高越容易滑。

試試看：支點左邊 1 m 放 2 kg，右邊 2 m 放 1 kg，按「放開」看會不會平衡。

重力（逆時針力矩） 重力（順時針力矩） 支點的力 N 彈簧秤 F 作用線、力臂 系統重心

把工具箱的物體拖到木板的格點上：放在板子上方就放上去，放在下方就吊在板下（只有砝碼能吊）。拖曳物體可以移動，拖離木板就移除；拖曳三角形可以移動支點。位置與力臂依比例，物體大小只是示意。逆時針力矩為正。

背後的物理

力矩與力臂

力讓物體繞轉軸轉動的效果用力矩表示：力的大小乘以力臂，也就是轉軸到力的作用線的垂直距離。重力鉛直向下，所以它的力臂是與支點的水平距離，不是沿著傾斜木板量的距離。本實驗以逆時針力矩為正：

\[ \tau = rF\sin\phi = F\,d_{\perp}, \qquad \tau_i = -m_i g\,(x_i - p)\cos\theta \]

吊在板下的砝碼經由繩子把掛鉤鉛直往下拉，作用線和放在板上同一格的砝碼相同，力矩也相同。

靜力平衡的條件

剛體要保持靜止，合力與（對任一點的）合力矩都必須為零。對蹺蹺板而言，第二個條件就是槓桿原理，第一個條件決定支點的力：

\[ \sum \vec F = 0, \qquad \sum \tau = 0 \;\Rightarrow\; \sum_{\text{左}} m_i g\,d_i = \sum_{\text{右}} m_j g\,d_j, \qquad N + F_{\text{秤}} = W_{\text{總}} \]

木板本身的重量作用在中心（\(x = L/2\)）。支點不在中心時，木板自己就有力矩 \(-Mg(L/2 - p)\)：所以只用一個砝碼也能讓這種「不對稱」的配置平衡，也能反過來用槓桿秤出木板的質量。換個說法：整個系統的重心在支點正上方時，木板就平衡：

\[ x_{\text{cm}} = \frac{M\,\frac{L}{2} + \sum m_i x_i}{M + \sum m_i} = p \quad\Longleftrightarrow\quad \sum \tau = 0 \]

彈簧秤只能往上拉。在離支點 \(s_k\) 的地方要讓木板保持水平，讀數必須是 \(F = -\sum\tau / s_k\)；離支點越遠，需要的力越小（槓桿省力但不省功）。

不平衡時：轉動

放開之後，木板依轉動的牛頓第二定律繞支點轉動。轉動慣量 \(I\) 只由質量對轉軸的分布決定，與木板轉得多快無關：

\[ I\alpha = \sum\tau, \qquad I = M\!\left(\frac{L^2}{12} + \Big(\frac{L}{2} - p\Big)^{2}\right) + \sum m_i (x_i - p)^2 \]

淨力矩小而 \(I\) 大（重物離支點遠）時，木板慢慢傾斜；淨力矩大而 \(I\) 小時，板端重重撞向地面。轉動中重心在加速，所以支點的力不等於總重。

靠牆的梯子

梯子受五個力：梯子與人的重量、地面的正向力 \(N_{\text{地}}\) 與摩擦力 \(f_{\text{地}}\)、牆的正向力 \(N_{\text{牆}}\)，以及（牆粗糙時）牆的摩擦力 \(f_{\text{牆}}\)。對梯子底端取力矩，地面的兩個力就消失了：

\[ f_{\text{地}} = N_{\text{牆}}, \qquad N_{\text{地}} + f_{\text{牆}} = W, \qquad N_{\text{牆}}\,L\sin\theta + f_{\text{牆}}\,L\cos\theta = \Big(W_{\text{梯}}\tfrac{L}{2} + W_{\text{人}}\,d\Big)\cos\theta \]

牆光滑時 \(f_{\text{牆}} = 0\)：地面要提供 \(f = (W_{\text{梯}}/2 + W_{\text{人}}\,d/L)\cot\theta\)，但最多只能提供 \(\mu_s W\)。所以梯子的角度至少要達到臨界角才不會滑：

\[ \tan\theta_c = \frac{m_{\text{梯}}/2 + m_{\text{人}}\,d/L}{\mu_s\,(m_{\text{梯}} + m_{\text{人}})} \;\xrightarrow{\text{沒有人}}\; \tan\theta_c = \frac{1}{2\mu_s} \]

分子隨 \(d\) 變大：人爬得越高，梯子就要放得越陡。牆也有摩擦時，臨界角變成 \(\tan\theta_c = \tau_w(1 + \mu_s\mu_w)/(\mu_s W) - \mu_w\)，其中 \(\tau_w = W_{\text{梯}}/2 + W_{\text{人}}\,d/L\)；沒有人時為 \(\tan\theta_c = (1 - \mu_s\mu_w)/(2\mu_s)\)。

觀察重點

模擬方法

參考資料